Lemma von Varadhan

Das Lemma von Varadhan (auch Varadhan's Lemma auch Laplace-Varadhans Integrallemma) ist ein Satz aus der Theorie der großen Abweichungen (Vorlage:EnS), einem Teilgebiet der Stochastik. Das Theorem macht eine Aussage über die asymptotische Verteilung einer Familie von Zufallsvariablen $f(Z_{\epsilon })$, wobei $\epsilon$ kleiner wird in Relation zu einer Rate-Funktion.

Das Theorem ist nach dem indischen Stochastiker S. R. Srinivasa Varadhan benannt. Da das Theorem die Methode von Laplace in unendlichdimensionale Räume überträgt, nennt man es manchmal auch Laplace-Varadhans Integrallemma.

Aussage

Sei $Z_{\epsilon >0}$ eine Familie von Zufallsvariablen, die Werte in einem polnischen Maßraum $(X,{\mu }_{\epsilon })$ annehmen. Für die Maße ${\mu }_{\epsilon }$ gelte das Prinzip der großen Abweichungen mit Rate-Funktion $I:X\to [0,\mathrm{\infty }]$. Für eine Funktion $f\in C(ℝ)$ gelte entweder

$\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{lim\; sup}}(\epsilon \log 𝔼[\exp \left(\frac{f(Z_{\epsilon })}{\epsilon }\right){\mathrm{𝟏}}_{(f(Z_{\epsilon })\ge M)}])=-\mathrm{\infty },$

(wobei ${\mathrm{𝟏}}_{(E)}$ die Indikatorfunktion des Ereignisses $E$ ist)

oder dass für ein $\gamma >1$

$\underset{\epsilon \to 0}{\mathrm{lim\; sup}}(\epsilon \log 𝔼[\exp \left(\gamma \frac{f(Z_{\epsilon })}{\epsilon }\right)])<\mathrm{\infty }.$

Dann ist

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\epsilon \log 𝔼[\exp \left(\frac{f(Z_{\epsilon })}{\epsilon }\right)]=\underset{x\in X}{\sup }(f(x)-I(x))$.