Perfektoider Ring

Ein perfektoider Ring ist ein spezieller topologischer Ring. Der Begriff wurde 2012 von Peter Scholze in seiner Theorie perfektoider Räume eingeführt.

Definition

Sei $p$ eine feste Primzahl. Ein perfektoider Ring $A$ ist ein vollständiger und gleichmäßiger Tatescher Huber-Ring, der eine topologisch nilpotente Einheit $\varpi \in A$ (auch pseudo-uniformisierendes Element genannt) besitzt, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\varpi }^p$ teilt $p$ im Ring potenz-beschränkter Elemente $A^{\circ }\subset A$.
• Der Frobenius-Homomorphismus $A^{\circ }/\varpi \to A^{\circ }/{\varpi }^p,a\mapsto a^p$ ist bijektiv.

Ein perfektoider Körper ist ein perfektoider Ring, der ein Körper ist.

Erläuterungen zu den Begriffen in der Definition:

• Ein vollständiger Huber-Ring ist ein vollständiger topologischer Ring $A$, der einen offenen Teilring $A_0$ besitzt, der wiederum ein endlich erzeugtes Ideal $I\subset A_0$ besitzt, sodass $\{I^n{\}}_{n\ge 0}$ in der Teilraumtopologie von $A_0$ eine Umgebungsbasis von $0$ ist. Gefordert ist lediglich die Existenz von $A_0$ bzw. $I$. $A_0$ ist also ein $I$-adischer Ring.
• Ein vollständiger Huber-Ring heißt Tatesch, falls er eine topologisch nilpotente Einheit besitzt. Das ist ein invertierbares Element $a\in A$ mit $a^n\to 0$ für $n\to \mathrm{\infty }$.
• Ein topologischer Ring heißt gleichmäßig, falls der Teilring potenz-beschränkter Elemente $A^{\circ }$ eine beschränkte Teilmenge von $A$ ist. Das heißt, dass für jede Umgebung $U\subset A$ der $0$ eine offene Umgebung $V\subset A$ der $0$ existiert, sodass $ax\in U$ für alle $a\in A^{\circ }$ und alle $x\in V$ gilt.

Literatur

• Sophie Morel: Adic spaces, abgerufen am 30. Dezember 2020.
• Peter Scholze: Perfectoid spaces.