Symmetrische Carlson-Form

In der Mathematik sind die symmetrischen Carlson-Formen der elliptischen Integrale eine kleine kanonische Menge von elliptischen Integralen, auf die alle anderen reduziert werden können. Sie sind eine moderne Alternative zu den Legendre-Formen. Die Legendre-Formen können in Carlson-Formen ausgedrückt werden und umgekehrt.

Die elliptischen Carlson-Integrale sind:

$R_F(x,y,z)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t+x)(t+y)(t+z)}}$

$R_J(x,y,z,p)=\frac{3}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(t+p)\sqrt{(t+x)(t+y)(t+z)}}$

$R_C(x,y)=R_F(x,y,y)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(t+y)\sqrt{(t+x)}}$

$R_D(x,y,z)=R_J(x,y,z,z)=\frac{3}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(t+z)\sqrt{(t+x)(t+y)(t+z)}}$

Da $R_C$ und $R_D$ Sonderfälle von $R_F$ und $R_J$ sind, können alle elliptischen Integrale letztlich durch $R_F$ und $R_J$ dargestellt werden.

Der Begriff symmetrisch bezieht sich auf die Tatsache, dass diese Funktionen im Gegensatz zu den Legendre-Formen durch Vertauschung bestimmter Funktionsargumente unverändert bleiben. Der Wert von $R_F(x,y,z)$ ist derselbe für jede Permutation der Argumente, und der Wert von $R_J(x,y,z,p)$ ist derselbe für jede Permutation der ersten drei Argumente.

Die elliptischen Carlson-Integrale sind nach Bille C. Carlson benannt.

Zusammenhang mit den Legendre-Formen

Unvollständige elliptische Integrale

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen leicht berechnet werden:

$F(\varphi ,k)=\sin \varphi R_F({\cos }^2\varphi ,1-k^2{\sin }^2\varphi ,1)$

$E(\varphi ,k)=\sin \varphi R_F({\cos }^2\varphi ,1-k^2{\sin }^2\varphi ,1)-\frac{1}{3}{k}^2{\sin }^3\varphi R_D({\cos }^2\varphi ,1-k^2{\sin }^2\varphi ,1)$

$\mathrm{\Pi }(\varphi ,n,k)=\sin \varphi R_F({\cos }^2\varphi ,1-k^2{\sin }^2\varphi ,1)+\frac{1}{3}n{\sin }^3\varphi R_J({\cos }^2\varphi ,1-k^2{\sin }^2\varphi ,1,1-n{\sin }^2\varphi )$

(Anmerkung: dies gilt nur für $0\le \varphi \le 2\pi$ und $0\le k^2{\sin }^2\varphi \le 1$)

Die Carlson-Formen werden folgendermaßen durch die Legendre-Formen dargestellt:

$R_F(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{z-x}}F[\arcsin \left(\sqrt{\frac{z-x}{z}}\right),\sqrt{\frac{z-y}{z-x}}]$

Dabei gilt 0 < x < y < z als Bedingung.

Vollständige elliptische Integrale

Vollständige elliptischen Integrale können durch Einsetzen von φ = π/2 berechnet werden:

$K(k)=R_F(0,1-k^2,1)$

$E(k)=R_F(0,1-k^2,1)-\frac{1}{3}{k}^2{R}_D(0,1-k^2,1)$

$\mathrm{\Pi }(n,k)=R_F(0,1-k^2,1)+\frac{1}{3}n{R}_J(0,1-k^2,1,1-n)$

Spezialfälle

Wenn zwei beliebige oder alle drei Argumente von $R_F$ identisch sind, dann macht die Substitution $\sqrt{t+x}=u$ den Integranden rational. Das Integral kann dann durch elementare transzendente Funktionen ausgedrückt werden.

$R_C(x,y)=R_F(x,y,y)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t+x}(t+y)}=\underset{\sqrt{x}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}u}{u^2-x+y}=\{\begin{array}{cc}\frac{\arccos \sqrt{\frac{x}{y}}}{\sqrt{y-x}},& x<y\\ \frac{1}{\sqrt{y}},& x=y\\ \frac{\mathrm{arccosh}\sqrt{\frac{x}{y}}}{\sqrt{x-y}},& x>y\end{array}$

Ähnlich verhält es sich, wenn mindestens zwei der ersten drei Argumente von $R_J$ identisch sind,

$R_J(x,y,y,p)=3\underset{\sqrt{x}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}u}{(u^2-x+y)(u^2-x+p)}=\{\begin{array}{cc}\frac{3}{p-y}(R_C(x,y)-R_C(x,p)),& y\ne p\\ \frac{3}{2(y-x)}(R_C(x,y)-\frac{1}{y}\sqrt{x}),& y=p\ne x\\ \frac{1}{y^{3/2}},& y=p=x\end{array}$

Eigenschaften

Homogenität

Wenn man in die Integraldefinitionen jede Konstante $\kappa$ durch $t=\kappa u$ ersetzt, stellt man fest, dass

$R_F(\kappa x,\kappa y,\kappa z)={\kappa }^{-1/2}{R}_F(x,y,z)$

$R_J(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p)={\kappa }^{-3/2}{R}_J(x,y,z,p)$

Duplikationssatz

$R_F(x,y,z)=2R_F(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_F(\frac{x+\lambda }{4},\frac{y+\lambda }{4},\frac{z+\lambda }{4}),$

mit $\lambda =\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}\sqrt{z}+\sqrt{z}\sqrt{x}$.

$\begin{array}{cc}{R}_J(x,y,z,p)& =2R_J(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_C(d^2,d^2+(p-x)(p-y)(p-z))\\ & =\frac{1}{4}{R}_J(\frac{x+\lambda }{4},\frac{y+\lambda }{4},\frac{z+\lambda }{4},\frac{p+\lambda }{4})+6R_C(d^2,d^2+(p-x)(p-y)(p-z)),\end{array}$

mit $d=(\sqrt{p}+\sqrt{x})(\sqrt{p}+\sqrt{y})(\sqrt{p}+\sqrt{z})$ and $\lambda =\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}\sqrt{z}+\sqrt{z}\sqrt{x}$.

Reihenentwicklung

Um eine Taylorreihe für $R_F$ oder $R_J$ zu erhalten, erweist es sich als praktisch, um den Mittelwert aller Argumente zu entwickeln. Für $R_F$ sei der Mittelwert der Argumente also $A=(x+y+z)/3$, und unter Verwendung der Homogenität werden $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$ und $\mathrm{\Delta }z$ definiert durch

$\begin{array}{cc}{R}_F(x,y,z)& =R_F(A\cdot (1-\mathrm{\Delta }x),A\cdot (1-\mathrm{\Delta }y),A\cdot (1-\mathrm{\Delta }z))\\ & =\frac{1}{\sqrt{A}}{R}_F(1-\mathrm{\Delta }x,1-\mathrm{\Delta }y,1-\mathrm{\Delta }z)\end{array}$

d. h. $\mathrm{\Delta }x=1-x/A$ usw. Die Differenzen $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$ und $\mathrm{\Delta }z$ werden mit diesem Vorzeichen definiert (so dass sie subtrahiert werden), um mit Carlsons Veröffentlichungen übereinzustimmen. Da $R_F(x,y,z)$ unter der Permutation von $x$, $y$ und $z$ symmetrisch ist, sie ist auch symmetrisch in $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$ und $\mathrm{\Delta }z$. Daraus folgt, dass sowohl der Integrand von $R_F$, als auch sein Integral als Funktionen der Elementarsymmetrischen Polynome in $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$ und $\mathrm{\Delta }z$ ausgedrückt werden können, das sind

$E_1=\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }y+\mathrm{\Delta }z=0$

$E_2=\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y+\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z+\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }x$

$E_3=\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z$ .

Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, ergibt

$\begin{array}{cc}{R}_F(x,y,z)& =\frac{1}{2\sqrt{A}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{(t+1{)}^3-(t+1{)}^2{E}_1+(t+1)E_2-E_3}}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{2\sqrt{A}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{(t+1{)}^{3/2}}-\frac{E_2}{2(t+1{)}^{7/2}}+\frac{E_3}{2(t+1{)}^{9/2}}+\frac{3E_2^2}{8(t+1{)}^{11/2}}-\frac{3E_2{E}_3}{4(t+1{)}^{13/2}}+O(E_1)+O({\mathrm{\Delta }}^6))\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{\sqrt{A}}(1-\frac{1}{10}{E}_2+\frac{1}{14}{E}_3+\frac{1}{24}{E}_2^2-\frac{3}{44}{E}_2{E}_3+O(E_1)+O({\mathrm{\Delta }}^6))\end{array}$

Der Vorteil der Entwicklung um den Mittelwert der Argumente offenbart sich jetzt; sie reduziert $E_1$ auf Null und eliminiert damit alle Terme mit $E_1$, die sonst am zahlreichsten wären.

Eine aufsteigende Reihe für $R_J$ kann auf ähnliche Weise gefunden werden. Es gibt eine kleine Schwierigkeit, weil $R_J$ nicht vollständig symmetrisch ist; seine Abhängigkeit vom vierten Argument, $p$, unterscheidet sich von der Abhängigkeit von $x$, $y$ und $z$. Dies wird dadurch überwunden, dass $R_J$ als eine vollsymmetrische Funktion von fünf Argumenten behandelt wird, von denen nun zwei den gleichen Wert $p$ haben. Der Mittelwert der Argumente wird daher

$A=\frac{x+y+z+2p}{5}$ .

und die Differenzen $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$, $\mathrm{\Delta }z$ und $\mathrm{\Delta }p$ definiert durch

$\begin{array}{cc}{R}_J(x,y,z,p)& =R_J(A(1-\mathrm{\Delta }x),A(1-\mathrm{\Delta }y),A(1-\mathrm{\Delta }z),A(1-\mathrm{\Delta }p))\\ & =\frac{1}{A^{3/2}}{R}_J(1-\mathrm{\Delta }x,1-\mathrm{\Delta }y,1-\mathrm{\Delta }z,1-\mathrm{\Delta }p)\end{array}$

Die Elementarsymmetrischen Polynome von $\mathrm{\Delta }x$, $\mathrm{\Delta }y$, $\mathrm{\Delta }z$, $\mathrm{\Delta }p$ und (nochmal) $\mathrm{\Delta }p$ sind insgesamt

$E_1=\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }y+\mathrm{\Delta }z+2\mathrm{\Delta }p=0$

$E_2=\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y+\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z+2\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }p+\mathrm{\Delta }{p}^2+2\mathrm{\Delta }p\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }z+2\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }p$

$E_3=\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }{p}^2+\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }{p}^2+2\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }p+\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z+2\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }p+\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }{p}^2+2\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }p$

$E_4=\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }{p}^2+\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }{p}^2+\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }{p}^2+2\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }p$

$E_5=\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y\mathrm{\Delta }z\mathrm{\Delta }{p}^2$

Es ist jedoch möglich, die Formeln für $E_2$, $E_3$ und $E_4$ zu vereinfachen, indem man die Tatsache benutzt, dass $E_1=0$. Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, wie zuvor, ergibt

$\begin{array}{cc}{R}_J(x,y,z,p)& =\frac{3}{2A^{3/2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{(t+1{)}^5-(t+1{)}^4{E}_1+(t+1{)}^3{E}_2-(t+1{)}^2{E}_3+(t+1)E_4-E_5}}\mathrm{d}t\\ & =\frac{3}{2A^{3/2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{(t+1{)}^{5/2}}-\frac{E_2}{2(t+1{)}^{9/2}}+\frac{E_3}{2(t+1{)}^{11/2}}+\frac{3E_2^2-4E_4}{8(t+1{)}^{13/2}}+\frac{2E_5-3E_2{E}_3}{4(t+1{)}^{15/2}}+O(E_1)+O({\mathrm{\Delta }}^6))\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{A^{3/2}}(1-\frac{3}{14}{E}_2+\frac{1}{6}{E}_3+\frac{9}{88}{E}_2^2-\frac{3}{22}{E}_4-\frac{9}{52}{E}_2{E}_3+\frac{3}{26}{E}_5+O(E_1)+O({\mathrm{\Delta }}^6))\end{array}$

Wie bei $R_J$ werden durch die Entwicklung um den Mittelwert der Argumente mehr als die Hälfte der Terme (diejenigen, die $E_1$ enthalten) eliminiert.

Negative Argumente

Im Allgemeinen dürfen die Argumente $x$, $y$ und $z$ von Carlsons Integralen nicht reell und negativ sein, da dies einen Verzweigungspunkt auf dem Integrationspfad erzeugen würde, was das Integral mehrdeutig machen würde. Wenn jedoch das zweite Argument von $R_C$ oder das vierte Argument $p$ von $R_J$ negativ ist, dann ergibt sich eine einfache Polstelle auf dem Integrationspfad. In diesen Fällen kann der Cauchysche Hauptwert (der endliche Teil) der Integrale von Interesse sein; dies sind

$\mathrm{p}\mathrm{.}\mathrm{v}\mathrm{.}{R}_C(x,-y)=\sqrt{\frac{x}{x+y}}{R}_C(x+y,y),$

und

$\begin{array}{cc}\mathrm{p}\mathrm{.}\mathrm{v}\mathrm{.}{R}_J(x,y,z,-p)& =\frac{(q-y)R_J(x,y,z,q)-3R_F(x,y,z)+3\sqrt{y}{R}_C(xz,-pq)}{y+p}\\ & =\frac{(q-y)R_J(x,y,z,q)-3R_F(x,y,z)+3\sqrt{\frac{xyz}{xz+pq}}{R}_C(xz+pq,pq)}{y+p}\end{array}$

wobei

$q=y+\frac{(z-y)(y-x)}{y+p}$

größer als Null sein muss, damit $R_J(x,y,z,q)$ ausgewertet werden kann. Dies kann erreicht werden, indem $x$, $y$ und $z$ so permutiert werden, dass der Wert von $y$ zwischen dem von $x$ und $z$ liegt.

Numerische Auswertung

Der Duplikationssatz kann für eine schnelle und robuste Auswertung der symmetrischen Carlson-Formen von elliptischen Integralen verwendet werden, und damit auch für die Auswertung der Legendre-Form der elliptischen Integrale. Zur Berechnung von $R_F(x,y,z)$ definieren wir zunächst $x_0=x$, $y_0=y$ und $z_0=z$. Dann wird die Reihe iteriert

${\lambda }_n=\sqrt{x_n}\sqrt{y_n}+\sqrt{y_n}\sqrt{z_n}+\sqrt{z_n}\sqrt{x_n},$

$x_{n+1}=\frac{x_n+{\lambda }_n}{4},y_{n+1}=\frac{y_n+{\lambda }_n}{4},z_{n+1}=\frac{z_n+{\lambda }_n}{4}$

bis die gewünschte Präzision erreicht ist: Wenn $x$, $y$ und $z$ nicht negativ sind, konvergieren alle Reihen schnell zu einem bestimmten Wert $\mu$. Damit ist

$R_F(x,y,z)=R_F(\mu ,\mu ,\mu )={\mu }^{-1/2}.$

Die Auswertung von $R_C(x,y)$ erfolgt ebenso mit Hilfe der Beziehung

$R_C(x,y)=R_F(x,y,y).$

Literatur

• Vorlage:Cite journal
• Vorlage:Cite web
• Fortran Code aus SLATEC zur Auswertung von RF, RJ, RC, RD,