Kompaktes Objekt

Vorlage:Begriffsklärungshinweis Ein kompaktes Objekt (auch endlich präsentiertes Objekt) ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ein Objekt einer Kategorie, das eine gewisse Endlichkeitsbedingung erfüllt.

Definition

Ein Objekt $X$ einer Kategorie $𝒞$, die alle filtrierten Kolimiten enthält heißt kompakt, falls der Funktor

${\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,\cdot ):C\to 𝐒𝐞𝐭,Y\mapsto {\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)$

filtrierte Kolimiten erhält, das heißt, falls die kanonische Abbildung

${\mathrm{colim}}_i{\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y_i)\to {\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,{\mathrm{colim}}_i{Y}_i)$

für jedes filtrierte System von Objekten $Y_i$ in $𝒞$ eine Bijektion ist. Analog heißt $X$ kokompakt, falls der Funktor ${\mathrm{Hom}}_{𝒞}(\cdot ,X)$ kofiltrierte Limiten erhält.

Literatur

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory, Princeton University Press 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, Arxiv: math.CT/0608040