Witt-Ring

Der Begriff des Witt-Rings $W(R)$ stammt aus der Algebra. Er soll die quadratischen Räume über einem Ring $R$, d. h. die $R$-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, zusammenfassen. Er wurde 1937 von Ernst Witt eingeführt.

Definition für beliebige Ringe

Sei $R$ ein kommutativer Ring.

Die Menge der quadratischen Räume, d. h. der $R$-Moduln mit symmetrischer Bilinearform, hat eine Ringstruktur mit der orthogonalen direkten Summe $\oplus$ als Addition und dem Tensorprodukt $\otimes$ als Multiplikation. Man bezeichnet zwei quadratische Räume $S_1,S_2$ als stabil äquivalent, wenn es $T_1,T_2$ gibt, so dass $S_1\oplus T_1$ isomorph zu $S_2\oplus T_2$ ist.

Stabile Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet mit den durch $\oplus$ und $\otimes$ induzierten Verknüpfungen einen Ring, der als Witt-Ring $W(R)$ bezeichnet wird.

Äquivalente Definition für Körper

Sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\mathrm{char}(K)\ne 2$. Als hyperbolische Ebene $H$ bezeichnet man den $K^2$ mit der symmetrischen Bilinearform $b(x,y)=2xy$, als metabolische quadratische Form eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen.

Für solche Körper kann der Witt-Ring $W(K)$ äquivalent definiert werden als Menge der Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation: $S_1$ und $S_2$ sind äquivalent, wenn es eine metabolische quadratische Form $M$ mit $S_2=S_1\oplus M$ oder $S_1=S_2\oplus M$ gibt.

Beispiele

• Für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ ist $W(K)\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
• Für den Körper der reellen Zahlen ist $W(ℝ)\simeq \mathbb{Z}$.
• Für den Ring der ganzen Zahlen ist $W(\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$.
• Für den Körper der rationalen Zahlen ist $W(\mathbb{Q})=W(ℝ)⨁{\oplus }_{p}W(F_p)$ (schwache Form des Satzes von Hasse-Minkowski).
• Für einen endlichen Körper $F_q$ mit $q\equiv 3mod4$ ist $W(F_q)\simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
• Für einen endlichen Körper $F_q$ mit $q\equiv 1mod4$ ist $W(F_q)\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[F^{*}/F^{*2}]$.
• Für einen lokalen Körper $K$ mit Maximalideal $𝔪$ der Norm $N(𝔪)\equiv 1mod4$ ist $W(K)=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$.
• Für einen lokalen Körper $K$ mit Maximalideal $𝔪$ der Norm $N(𝔪)\equiv 3mod4$ ist $W(K)=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}]$.
• Für jeden Körper $K$ wird der Torsionsanteil von $W(K)$ von Pfister-Formen erzeugt. Die Ordnung jedes Torsionselements ist eine Zweierpotenz.

Literatur

• John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer, 1973.