Fuhrmann-Kreis

Fuhrmann-Kreis mit Fuhrmann-Dreieck (rot),
Nagel-Punkt $N$ und Höhenschnittpunkt $H$
$|A{P}_a|=B{P}_b|=|C{P}_c|=2r$

Der Fuhrmann-Kreis, benannt nach Wilhelm Fuhrmann (1833–1904), ist ein spezieller Kreis am Dreieck. Für ein gegebenes Dreieck mit Nagel-Punkt $N$ und Höhenschnittpunkt $H$ kann man den Fuhrmann-Kreis als denjenigen Kreis definieren, der die Strecke $NH$ als Durchmesser besitzt. Der so definierte Kreis ist identisch mit dem Umkreis des zum gegebenen Dreieck gehörenden Fuhrmann-Dreiecks.

Der Radius des Fuhrmann-Kreises $R_F$ entspricht dem Abstand der Mittelpunkte von Inkreis und Umkreis des gegebenen Dreiecks. Mit dem Satz von Euler ergibt sich hiermit:

$R_F=\sqrt{R(R-2r)}$

Hierbei bezeichnet $R$ den Radius des Umkreises und $r$ den Radius des Inkreises.

Der Fuhrmann-Kreis schneidet die Höhen des Dreiecks neben dem gemeinsamen Höhenschnittpunkt $H$ jeweils in einem weiteren Punkt. Jeder dieser Punkte besitzt den Abstand $2r$ vom zugehörigen Eckpunkt (siehe Zeichnung). Da der Fuhrmann-Kreis mit diesen drei Punkten zusammen mit dem Nagel-Punkt, dem Höhenschnittpunkt und den Eckpunkten des Fuhrmann-Dreiecks insgesamt acht besondere Punkte besitzt, wird er manchmal auch als Acht-Punkte-Kreis bezeichnet.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 228–229, 300 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 49-52
• J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Band 86, Nr. 506 (Jul., 2002), S. 326–328 (JSTOR)

Weblinks

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• Fuhrmann circle