Indexsatz von Hodge

Der Indexsatz von Hodge ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der algebraischen Geometrie. Er berechnet die Signatur algebraischer Flächen.

Er besagt: Sei $H$ ein ampler Divisor auf einer algebraischen Fläche $X$. Dann ist die Schnittform negativ definit auf $H^{\perp }$.

Dies gilt insbesondere, wenn $H$ der Divisor des Hyperebenenschnittes einer Einbettung $X\to ℂP^n$ ist. In diesem Fall ist $H\cdot H=\mathrm{deg}(X)>0$, womit sich der Trägheitsindex der Schnittform als $(1,d-1)$ ergibt, wobei $d$ die Dimension des Vektorraums rationaler Divisoren modulo algebraischer Äquivalenz (äquivalent der Rang der Néron-Severi-Gruppe) ist.

Der Satz wurde von Hodge als Anwendung der topologischen Methoden Lefschetzs in der komplexen algebraischen Geometrie bewiesen. In Lehrbüchern wird er heute meist als Konsequenz des Satzes von Riemann-Roch oder auch aus den Kähler-Identitäten hergeleitet. Er gilt allgemeiner über beliebigen algebraisch abgeschlossenen Körpern.

Literatur

• Hartshorne: „Algebraic Geometry“, Berlin, New York: Springer-Verlag 1977, ISBN 978-0-387-90244-9
• Voisin: „Hodge Theory and complex algebraic geometry“, Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2002, ISBN 0-521-80260-1

Weblinks

• Akhil Mathew: The Riemann-Roch and Hodge Index Theorems on surfaces