Whitehead-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik ist die Whitehead-Mannigfaltigkeit ein Beispiel einer kontrahierbaren 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zum euklidischen Raum ${ℝ}^3$ ist.

J. H. C. Whitehead hatte 1934 einen Beweis der Poincaré-Vermutung veröffentlicht, in dem er zunächst bewiesen haben wollte, dass jede kontrahierbare 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zum ${ℝ}^3$ ist, woraus er die Poincaré-Vermutung (jede einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur $S^3$) erhielt. Im Folgejahr entdeckte er einen Fehler in seinem Beweis und das Beispiel der Whitehead-Mannigfaltigkeit. Diese ist kontrahierbar, aber nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen, womit sie nicht homöomorph zum ${ℝ}^3$ sein kann und seine erste Behauptung widerlegt.

Konstruktion

Konstruiere eine Folge $W_i$ von in der 3-Sphäre $S^3$ eingebetteten Volltori wie folgt.

1. Schritt: $W_1$ ist ein unverknoteter Volltorus in $S^3$.

2. Schritt: $W_2$ ist in $W_1$ so eingebettet, dass der Kern von $W_2$ mit dem Meridian von $W_1$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

i. Schritt: $W_{i+1}$ ist in $W_i$ so eingebettet, dass der Kern von $W_{i+1}$ mit dem Meridian von $W_i$ eine Whitehead-Verschlingung bildet.

...

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit ist das Komplement der Schnittmenge $\bigcap _{i\in \mathbb{N}}{W}_i$ in $S^3$, oder äquivalent die Vereinigungsmenge $\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{N}_i$ mit $N_i=S^3\setminus W_i$.

Topologische Eigenschaften

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit $W$ ist kontrahierbar und $W\times ℝ\cong {ℝ}^4$,

Sie ist nicht einfach zusammenhängend im Unendlichen. Ihre Ein-Punkt-Kompaktifizierung ist der Quotient von $S^3$, wenn alle Punkte aus $\bigcap _{i\in \mathbb{N}}{W}_i$ miteinander identifiziert werden.

Sie ist die Vereinigung zweier Kopien des ${ℝ}^3$, deren Durchschnitt ebenfalls homöomorph zum ${ℝ}^3$ ist.

Differentialgeometrie

Die Whitehead-Mannigfaltigkeit trägt keine vollständige Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung.