Satz von Borel-Weil

In der Mathematik gibt der Satz von Borel-Weil eine geometrische Beschreibung der Darstellungen von Lie-Gruppen. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Borel-Weil-Bott, der alle irreduziblen Darstellungen beschreibt.

Der Satz beschreibt die Darstellungen höchsten Gewichts halbeinfacher Lie-Gruppen, d. h., er gibt eine explizite Konstruktion der durch den Satz vom höchsten Gewicht gegebenen Darstellungen.

Konstruktion

Sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe, $B\subset G$ eine Borel-Untergruppe und $G/B$ die Fahnenvarietät.

Zu einer 1-dimensionalen Darstellung $\lambda :B\to {ℂ}^{*}$ hat man ein Linienbündel $L_{\lambda }$ über $G/B$ definiert durch

$G\times ℂ/\sim$

$(g,z)\sim (gb,\rho (b^{-1})z)\mathrm{\forall }b\in B$

Die Wirkung von $G$ auf $\mathrm{\Gamma }(L_{\lambda })$, den holomorphe Schnitten dieses Linienbündels, definiert durch

$(g_1\cdot s)(g_{2}B)=s(g_1^{-1}{g}_{2}B)\mathrm{\forall }s\in \mathrm{\Gamma }(L_{\lambda }),g_1,g_2\in G$

eine Darstellung von $G$.

Satz von Borel-Weil

Sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe, $B\subset G$ eine Borel-Untergruppe und $B=TU$ ihre Zerlegung als Produkt ihres maximalen Torus und ihres unipotenten Radikals.

Wenn die Einschränkung von $\lambda$ auf $T$ ein dominantes integrales Element ist, dann ist $\mathrm{\Gamma }(L_{\lambda })$ diejenige Darstellung von $G$, deren höchstes Gewicht die Einschränkung von $\lambda$ auf $T$ ist.

Andernfalls ist $\mathrm{\Gamma }(L_{\lambda })=0$.

Beispiel: Darstellungen der SL(2,C)

Für $G=SL(2,C)$ können wir als Borel-Gruppe $B$ die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen wählen. Jede 1-dimensionale Darstellung ist von der Form

${\rho }_n\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& \frac{1}{a}\end{array}\right)=a^n$

für eine ganze Zahl $n$.

Die Fahnenvarietät ist $G/B=ℂP^1$ mit homogenen Koordinaten $X,Y$ und die Schnitte des Linienbündels zur Darstellung ${\rho }_n$ entsprechen den homogenen Polynomen vom Grad $n$ in den Koordinaten $X,Y$. Diese bilden einen (n+1)-dimensionalen Vektorraum mit Basis $X^n,X^{n-1}Y,X^{n-2}{Y}^2,\dots ,Y^n$. Man erhält also eine Darstellung der Dimension $n+1$ und wiederentdeckt den bekannten Satz, dass es zu jeder Dimension eine eindeutige irreduzible Darstellung von $SL(2,ℂ)$ gibt.

Weblinks

• Jacob Lurie: A proof of the Borel-Weil-Bott theorem
• Borel-Weil Theorem (nLab)