Volumenstarrheit

Volumenstarrheit (engl.: volume rigidity) bezeichnet zwei unterschiedliche Konzepte in der Mathematik.

Volumenstarrheit nach Thurston und Besson-Courteois-Gallot

Satz (Thurston): Wenn $f:M_1\to M_2$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen hyperbolischen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension $n\ge 3$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

$deg(f)\le \frac{Vol(M_1)}{Vol(M_2)}$

und Gleichheit nur dann, wenn $f$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Satz (Besson-Courteois-Gallot, Boland-Connell-Souto): Wenn $f:(M_1,g_1)\to (M_2,g_2)$ eine stetige Abbildung zwischen vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens der Dimension $n\ge 3$ mit

$Ric(g_1)\ge -(n-1)g_1,-a\le K(g_2)\le -1$

für eine Konstante $a\ge 1$ ist, dann gilt für den Abbildungsgrad

$deg(f)\le \frac{Vol(M_1)}{Vol(M_2)}$

und Gleichheit nur dann, wenn $f$ eigentlich homotop zu einer riemannschen Überlagerung ist.

Volumenstarrheit nach Goldman

Satz (Goldman): Sei ${\mathrm{\Sigma }}_g$ eine geschlossene hyperbolische Fläche und $\rho :{\pi }_1{\mathrm{\Sigma }}_g\to Iso{m}^{+}({ℍ}^2)=PSL(2,ℝ)$ eine Darstellung. Dann gilt

$vol(\rho )\le vol({\mathrm{\Sigma }}_g)$

und Gleichheit nur dann, wenn $\rho$ diskret und treu ist.

Satz (Dunfield, Francaviglia-Klaff): Sei $M$ eine hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens der Dimension $n\ge 3$ und $\rho :{\pi }_{1}M\to Iso{m}^{+}({ℍ}^n)=SO(n,1{)}_0$ eine Darstellung. Dann gilt

$vol(\rho )\le vol(M)$

und Gleichheit nur dann, wenn $\rho$ diskret und treu ist.

Satz (Korollar zum Superstarrheitssatz): Sei $M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G/K$ ein kompakter lokal symmetrischer Raum nichtkompakten Typs mit $G$ ohne $SO(n,1)$- oder $SU(n,1)$-Faktor, und $\rho :\mathrm{\Gamma }\to G$ eine Darstellung. Dann gilt

$vol(\rho )\le vol(M)$

und Gleichheit nur dann, wenn $\rho$ diskret und treu ist.

Literatur

• W. Goldman: Topological components of spaces of representations. Invent. Math. 93, 1988, S. 557–607.
• G. Besson, G. Courteois, S. Gallot: Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement negative. G.A.F.A. 5, 1995, S. 731–799.
• N. Dunfield: Cyclic surgery, degrees of maps of character curves, and volume rigidity for hyperbolic manifolds. Invent. Math. 136, 1999, S. 623–657.
• J. Boland, C. Connell, J. Souto: Volume rigidity for finite volume manifolds. Amer. J. Math. 127, 2005, S. 535–550.
• S. Francaviglia, B. Klaff: Maximal volume representations are Fuchsian. Geom. Dedic. 117, 2006, S. 111–124.