Nielsen-Thurston-Klassifikation

In der Mathematik beschreibt die Nielsen-Thurston-Klassifikation die möglichen Typen der Selbstabbildungen von Flächen.

Aufbauend auf Arbeiten von Jakob Nielsen wurde sie 1976 von William Thurston mittels der von ihm konstruierten Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums bewiesen. Einen direkten Beweis mittels Teichmüller-Theorie gab Lipman Bers.

Klassifikation

Sei $S$ eine geschlossene orientierbare Fläche vom Geschlecht $g\ge 2$ und sei

$f:S\to S$

ein orientierungserhaltender Homöomorphismus. Dann gilt für $f$ mindestens eine der folgenden drei Alternativen.

1. $f$ ist periodisch: es gibt ein $n\in \mathbb{N}$, so dass $f^n$ isotop zur Identitätsabbildung ist
2. $f$ ist reduzibel: es gibt eine endliche Familie disjunkter einfacher geschlossener Kurven, die bis auf Isotopie von $f$ permutiert werden
3. $f$ ist pseudo-Anosovsch, d. h. Isotop zu einem Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus

Beweisidee

Thurston konstruierte eine Kompaktifizierung des Teichmüllerraums der Fläche $S$ durch den produktiven Raum der gemessenen Laminierungen auf $S$, so dass die Wirkung eines Homöomorphismus auf dieser Kompaktifizierung stetig ist. Thurstons Kompaktifizierung ist homöomorph zur abgeschlossenen (6g-6)-dimensionalen Vollkugel. Nach dem Fixpunktsatz von Brouwer muss die Wirkung von $f$ also einen Fixpunkt haben. Es gibt dann folgende Möglichkeiten:

1. wenn die Wirkung von $f$ einen Fixpunkt im Inneren, also im Teichmüllerraum hat, dann ist $f$ periodisch und der Fixpunkt entspricht einer hyperbolischen Metrik, bzgl. der $f$ isotop zu einer Isometrie ist
2. wenn $f$ reduzibel ist, also bis auf Isotopie eine Multikurve festlast, dann hat die Wirkung von $f$ einen Fixpunkt im Rand der Kompaktifizierung des Teichmüllerraums
3. wenn die Wirkung von $f$ zwei Fixpunkte im Rand der Kompaktifizierung des Teichmüllerraums hat, dann ist $f$ pseudo-Anosovsch und die beiden Fixpunkte entsprechen der stabilen und instabilen Laminierung des zu $f$ isotopen Pseudo-Anosov-Diffeomorphismus

Geometrisierung von Abbildungstori

Thurston benutzte die Klassifikation der Homöomorphismen von Flächen, um die Geometrisierung 3-dimensionaler Abbildungstori zu beweisen. Diese ist wie folgt:

1. wenn $f$ periodisch ist, dann hat der Abbildungstorus ${ℍ}^2\times ℝ$-Geometrie
2. wenn $f$ reduzibel ist, dann hat der Abbildungstorus eine nichttriviale JSJ-Zerlegung
3. wenn $f$ pseudo-Anosovsch ist, dann hat der Abbildungstorus eine hyperbolische Struktur

Algorithmus

Es gibt zahlreiche Algorithmen, die die Bestimmung des Nielsen-Thurston-Typs einer Abbildungsklasse in polynomieller Zeit (bzgl. der Wortlänge in der Abbildungsklassengruppe) ermöglichen.

Literatur

• J. Nielsen: Surface transformation classes of algebraically finite type, Danske Vid. Selsk. Math.-Phys. Medd. 21, 89 (1944)
• W. Thurston: On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. 19, 417–431 (1988)
• L. Bers: An extremal problem for quasiconformal mappings and a theorem by Thurston, Acta Math. 141, 73–98 (1978)
• A. Fathi, F. Lauterbach, V. Poenaru: Travaux de Thurston, Asterisque 66/67 (1979)