Choquet-Integral

Der französische Mathematiker Gustave Choquet ist der Schöpfer des nach ihm benannten Choquet-Integrals. Im Unterschied zum Lebesgue-Integral, das die Integration auf beliebigen Maßräumen definiert, werden für das Choquet-Integral keine Maße, sondern lediglich Kapazitäten benutzt. Choquet-Integrale benötigt man z. B. in der Entscheidungstheorie, der kooperativen Spieltheorie, der Nutzenstheorie, der Datenverarbeitung (zur Konstruktion von Aggregationsfunktionen).

Idee

Sei $U$ die Grundmenge, $f:U\to [0,\mathrm{\infty })$ eine nichtnegative reellwertige Funktion und $\lambda$ ein Maß. Das Lebesgue-Integral $\int fd\lambda$ sei wohldefiniert. Dann hat das Lebesgue-Integral folgende Darstellung als Riemann-Integral:

$\int fd\lambda =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lambda (\{y|f(y)\ge x\})dx$.

Wenn man in dieser Darstellung das Maß $\lambda$ durch eine Kapazität $\mu$ ersetzt, hat man bereits die Definition des Choquet-Integrals für nichtnegative Funktionen.

Definition

Sei nun $f|U\to ℝ$ eine reellwertige Funktion, $ℱ(U)$ eine Menge von Teilmengen von $U$ und $\mu$ eine Kapazität. Die Funktion $f$ sei messbar, d. h.

$\mathrm{\forall }x\in ℝ:\{y|f(y)\ge x\}\in ℱ(U)$.

Dann ist das Choquet-Integral von $f$ bzgl. $\mu$ folgendermaßen durch Riemann-Integrale definiert:

$\int fd\mu :=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mu (\{y|f(y)\ge x\})dx+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}[\mu (\{y|f(y)\ge x\})-\mu (U)]dx$.

Für positive $f$ reduziert sich dies auf

$\int fd\mu =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mu (\{y|f(y)\ge x\})dx$.

Eigenschaften

Siehe z. B. Für $f\le g$ gilt $\int fd\mu \le \int gd\mu$ (Monotonie). Für $\alpha \ge 0$ ist $\int \alpha fd\mu =\alpha \int fd\mu$ (positive Homogenität).

I.allg. ist das Choquet-Integral nicht additiv, d. h.

$\int (f+g)d\mu \ne \int fd\mu +\int gd\mu$

Wenn $\mu$ 2-monoton ist, dann ist das Choquet-Integral superadditiv, d. h.

$\int (f+g)d\mu \ge \int fd\mu +\int gd\mu$.

Wenn $\mu$ 2-alternierend ist, dann ist das Choquet-Integral subadditiv, d. h. in der letzten Ungleichung gilt $\le$.

Diskretes Choquet-Integral

Siehe z. B. Sei $U=\{1,\dots ,n\}$ und $f|U\to [0,\mathrm{\infty })$ eine nichtnegative Funktion mit den Werten $f(i)=y_i,i=1,\dots ,n$. Bezeichne $y_{(1)},\dots ,y_{(n)}$ die der Größe nach geordneten Funktionswerte, d. h.

$0\le y_{(1)}\le y_{(2)}\le \dots \le y_{(n)}$.

Da im diskreten Fall das definierende Riemann-Integral zu einer Summe entartet, ergibt sich

$\int fd\mu =\sum _{i=1}^n(y_{(i)}-y_{(i-1)})\mu (\{j|f(j)\ge y_{(i)}\})=\sum _{i=1}^n{y}_{(i)}[\mu (A_{(i)})-\mu (A_{(i+1)})]$;

$y_{(0)}=0;A_{(i)}=\{(i),(i+1),\dots ,(n)\};A_{(1)}=U;A_{(n+1)}=\mathrm{\varnothing }$.

Anwendung

Diskrete Choquet-Integrale sind ein flexibles Mittel zur Aggregation interagierender Kriterien, siehe . In diesem Fall ist $U=\{1,\dots ,n\}$ eine Menge von $n$ Kriterien mit den Ausprägungen $f(i)=y_i$. Diese Kriterien sollen durch geeignete Mittelbildung zusammengefasst (aggregiert) werden zu einem (globalen) Kriterium $y$. Das diskrete Choquet-Integral bildet ein solches Mittel:

$y=\sum _{i=1}^n{w}_{(i)}{y}_{(i)}\text{mit den Gewichten}{w}_{(i)}=\mu (A_{(i)})-\mu (A_{(i+1)})$

Durch superadditive (subadditive) $\mu$ können Synergieeffekte (Redundanzeffekte) zwischen den Kriterien berücksichtigt werden.

Weblinks

• M. Grabisch: An introduction to the Choquet integral