Korrelationsmatrix

In der Stochastik ist die Korrelationsmatrix eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix, die die Korrelation zwischen den Komponenten eines Zufallsvektors erfasst. Die Korrelationsmatrix kann aus der Varianz-Kovarianzmatrix erhalten werden und umgekehrt.

Definition

Die Korrelationsmatrix als Matrix aller paarweisen Korrelationskoeffizienten der Elemente eines Zufallsvektors $𝐗=(X_1,X_2,\dots ,X_n{)}^{\mathrm{\top }}$ enthält Informationen über die Korrelationen zwischen seinen Komponenten. Analog zur Varianz-Kovarianzmatrix $\mathrm{\Sigma }$ ist die Korrelationsmatrix definiert als

$𝐏\equiv \mathrm{Corr}(𝐗)=\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_{11}& {\rho }_{12}& \cdots & {\rho }_{1n}\\ \\ {\rho }_{21}& {\rho }_{22}& \cdots & {\rho }_{2n}\\ \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ {\rho }_{n1}& {\rho }_{n2}& \cdots & {\rho }_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& {\rho }_{12}& \cdots & {\rho }_{1n}\\ \\ {\rho }_{21}& 1& \cdots & {\rho }_{2n}\\ \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ {\rho }_{n1}& {\rho }_{n2}& \cdots & 1\end{array}\right)$,

wobei ${\rho }_{ij}=\mathrm{Cov}(X_i,X_j)/\sqrt{\mathrm{Var}(X_i)\mathrm{Var}(X_j)}={\sigma }_{ij}/{\sigma }_i{\sigma }_j$ der Korrelationskoeffizient zwischen $X_i$ und $X_j$ ist.

Beispielsweise beinhaltet die zweite Zeile von $𝐏$ die Korrelation von $X_2$ mit jeder anderen $X$-Variablen. Die Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit wird als ${𝐏}_{\rho }$ bzw. $𝐏$ und die Stichproben-Korrelationsmatrix als $𝐑$ bezeichnet. Wenn man die Diagonalmatrix $𝐃={(\mathrm{diag}(\mathrm{\Sigma }))}^{1/2}=\mathrm{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_n)$ definiert, dann erhält man $𝐏$ durch $\mathrm{\Sigma }$ und umgekehrt:

$𝐏={𝐃}^{-1}\mathrm{\Sigma }{𝐃}^{-1}$

oder äquivalent

$\mathrm{\Sigma }=𝐃𝐏𝐃$.

Eigenschaften

• Sind alle Komponenten des Zufallsvektors $𝐗$ linear unabhängig, so ist $𝐑$ positiv definit.
• Auf der Hauptdiagonalen wird die Korrelation der Größen mit sich selbst berechnet. Da der Zusammenhang der Größen strikt linear ist, ist die Korrelation auf der Hauptdiagonalen immer eins.
• Bei Stichprobenziehung aus einer mehrdimensionalen Normalverteilung ist die Stichproben-Korrelationsmatrix $𝐑$ Maximum-Likelihood-Schätzer der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit $𝐏$.

Stichproben-Korrelationsmatrix

Eine Schätzung der Korrelationsmatrix in der Grundgesamtheit $\widehat{𝐏}$ erhält man, indem man die Korrelationskoeffizienten in der Grundgesamtheit ${\rho }_{ij}$ durch die empirischen Korrelationskoeffizienten (ihre empirischen Gegenstücke) $r_{ij}$ ersetzt. Dies führt zur Stichproben-Korrelationsmatrix $𝐑$

$\begin{array}{cc}𝐑=\widehat{𝐏}=\widehat{\mathrm{Corr}(𝐗)}& =\left(\begin{array}{cccc}1& r_{12}& \cdots & r_{1k}\\ \\ r_{21}& 1& \cdots & r_{2k}\\ \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ r_{k1}& r_{k2}& \cdots & 1\end{array}\right)\end{array}$.

Siehe auch

• Kovarianzmatrix