Quadratur des Polygons

Quadratur des Polygons

Die Quadratur des Polygons oder die Quadratur der geradlinigen Figur ist eine Aufgabe aus der antiken Geometrie. Sie besteht darin, mit den euklidischen Werkzeugen Zirkel und Lineal aus einem gegebenen konvexen oder konkaven Polygon ein Quadrat mit gleich großer Fläche zu zeichnen. Dieser Artikel behandelt im Folgenden ausschließlich das konvexe unregelmäßige Polygon. Die Quadratur des Rechtecks wird ausführlich in einem separaten Artikel beschrieben.

Ausgangssituation

Johann Friedrich Lorenz beschreibt in seinem Buch Euklids Elemente, aus dem Jahr 1781, die Lösung dieser Quadratur in Einer gegebnen geradlinichen Figur, A, ein Quadrat gleich zu machen.

Für die Bearbeitung der Aufgabe werden folgende mathematische Sätze von Euklid herangezogen. Vorlage:Mehrere Bilder

1. Umwandlung eines Dreiecks in ein Parallelogramm mit gleich großer Fläche.
2. Umwandlung einer geradlinigen Figur in ein Parallelogramm mit gleich großer Fläche.
3. Der Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck.

Methode

Zur Verdeutlichung der Problematik bei der Quadratur von konvexen Polygonen mit mehr als vier Seiten wurde das unregelmäßige Fünfeck KLMNO gewählt.

Zuerst wird die Fläche des Polygons in Dreiecke zerlegt, das heißt, ausgehend von einer frei wählbaren Polygonecke, wie z. B. O, werden die Diagonalen gezogen. Es ergibt sich somit die kleinstmögliche Anzahl der Dreiecke; im Beispiel sind es die drei Dreiecke KLO (gelb), LMO (rot) und MNO (grün).

Weiter geht es mit dem Einzeichnen der Dreieckshöhen Vorlage:Overline, Vorlage:Overline und Vorlage:Overline und deren Halbierung; man erhält so die Schnittpunkte S, T und U.

Als Nächstes wird die Diagonale Vorlage:Overline (alternativ Diagonale Vorlage:Overline) als Strecke Vorlage:Overline auf einer Geraden abgetragen.

Aus der Formel zur Bestimmung der Dreiecksfläche für das gelbe Dreieck $F=\frac{a\cdot h}{2}$, a entspricht darin der Diagonale Vorlage:Overline und h der Strecke Vorlage:Overline, kann die gelbe Rechteckfläche abgeleitet und als F = Vorlage:Overline · Vorlage:Overline konstruiert werden. Dementsprechend gilt dies auch für das rote Dreieck LMO und das rote Rechteck T₁WVS₁.

Etwas mehr Aufwand verlangt die Umwandlung des grünen Dreiecks MNO, denn dessen Grundlinie Vorlage:Overline ist kürzer als die nun zu berücksichtigende Seitenlänge Vorlage:Overline. Nach der ersten Umwandlung des grünen Dreiecks MNO in das rot-blaue Rechteck U₁ZM₁T₁ folgt eine zweite Umwandlung in ein Rechteck mit der Seitenlänge Vorlage:Overline.

Zunächst wird der Punkt U₁ mit dem Punkt W verbunden und die Strecke Vorlage:Overline etwas verlängert. Eine anschließend konstruierte Parallele zur Strecke Vorlage:Overline ab dem Punkt Z ergibt den Schnittpunkt D.

Die darauffolgende Parallele zur Strecke Vorlage:Overline ab dem Punkt D erzeugt das grüne Rechteck CDWT₁ mit der gleich großen Fläche wie das grüne Dreieck MNO; siehe hierzu die Erläuterung in der nebenstehenden Animation Dreieck MNO umgewandelt in ein Rechteck mit gleich großer Fläche bei gegebener Rechteckseite Vorlage:Overline. Für die Veranschaulichung der schrittweisen Umwandlung hat das grüne Dreieck MNO in der Animation eine andere Form.

Die Quadrierung des so zusammengesetzten Rechtecks CDEB beginnt mit der Verlängerung seiner Seite Vorlage:Overline und einem Viertelkreis mit dem Radius Vorlage:Overline um den Punkt E; damit ergibt sich der Schnittpunkt F.

Nach der Halbierung der Strecke Vorlage:Overline im Punkt G, zieht man einen Thaleskreis um G und verlängert die Rechteckseite Vorlage:Overline bis zum Thaleskreis; es ergibt sich somit der Schnittpunkt H. Die Strecke Vorlage:Overline ist die erste Seite des gesuchten Quadrates, dessen Fläche gleich groß ist, wie die des gegebenen unregelmäßigen Fünfecks.

Weblinks

• Vorlage:Webarchiv Visuelles Wörterbuch der Mathematik