Satz von Kirszbraun

In der Mathematik ist der Satz von Kirszbraun (auch: Fortsetzungssatz von Kirszbraun oder Satz von Kirszbraun-Valentine) ein Lehrsatz über die Fortsetzbarkeit Lipschitz-stetiger Abbildungen, er ist nach dem polnischen Mathematiker Mojżesz Dawid Kirszbraun benannt.

Satz

Sei

$f:U\to {ℝ}^m$

eine auf einer Teilmenge $U\subset {ℝ}^n$ definierte Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante $\mathrm{Lip}(f)$, dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung

$F:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$

mit derselben Lipschitz-Konstante

$\mathrm{Lip}(F)=\mathrm{Lip}(f)$

und mit

$F{|}_U=f.$

Beispiel

Für $m=1$ kann man $F:{ℝ}^n\to ℝ$ explizit definieren durch

$F(x):=\underset{u\in U}{\inf }(f(u)+\text{Lip}(f)\cdot d(x,u))$

für alle $x\in {ℝ}^n$.

Dieselbe Formel funktioniert auch für Teilmengen $U\subset X$ beliebiger metrischer Räume $X$ und ist in diesem Kontext als Lemma von McShane bekannt.

Für $m>1$ kennt man keine solche geschlossene Formel.

Verallgemeinerungen

Der Satz von Kirszbraun gilt auch für Hilberträume, aber nicht für beliebige Banachräume.

Seien $H_1,H_2$ Hilberträume und $f:U\to H_2$ eine auf einer Teilmenge $U\subset H_1$ definierte Lipschitz-stetige Abbildung, dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung $F:H_1\to H_2$ mit derselben Lipschitz-Konstanten und mit $F{|}_U=f.$

Literatur

• M. Kirszbraun: Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math. 22 (1935), 77–108. online (PDF; 2,1 MB)
• F. Valentine: A Lipschitz condition preserving extension for a vector function. Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93. online (pdf)

Weblinks

• Fremlin: Kirszbraun's Theorem
• Kirszbraun Theorem (Encyclopedia of Mathematics)