Wachstum (Gruppentheorie)

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie zählt die Wachstumsrate einer Gruppe grob die Anzahl der Elemente, die sich als Produkte der Länge $n$ aus gegebenen Erzeugern darstellen lassen.

Wachstum von Graphen

Es sei $(V,E)$ ein Graph und $v_0\in V$ ein fest gewählter Knoten.

Für $n\in \mathbb{N}$ sei $a_n$ die Anzahl der Knoten $v\in V$, für die es einen Weg aus maximal $n$ Kanten von $v_0$ nach $v$ gibt.

Die Wachstumsrate des Graphen ist per Definition die Wachstumsrate der Folge $(a_n{)}_n$.

Wachstum von Gruppen

Es sei $G$ eine endlich erzeugte Gruppe und $S$ ein endliches Erzeugendensystem. Als Wachstumsrate der Gruppe $G$ bezeichnet man die Wachstumsrate des Cayleygraphen für $S$.

Genauer bedeutet dies das Folgende: Ist $S=\{s_1,\dots ,s_k\}$, so lässt sich jedes Gruppenelement $g\in G$ als Wort $g=s_{i_1}^{e_1}\cdots s_{i_m}^{e_m}$ schreiben, wobei $m\in \mathbb{N}$, die Indizes $i_1,\dots ,i_m$ Elemente von $\{1,\dots ,n\}$ und die Exponenten $e_1,\dots ,e_m\in \mathbb{Z}$ beliebige ganze Zahlen sind. Für jedes $n\in \mathbb{N}$ sei $a_n$ die Anzahl der Elemente von $G$, die eine solche Schreibung mit $|e_1|+\dots +|e_m|\le n$ besitzen. Die Wachstumsrate der Gruppe $G$ ist dann gerade die Wachstumsrate der Folge $(a_n{)}_n$.

Unterschiedliche Erzeugendensysteme geben zwar unterschiedliche Cayleygraphen und damit auch unterschiedliche Folgen $(a_n{)}_n$, jedoch sind die Cayleygraphen unterschiedlicher endlicher Erzeugendensysteme zueinander bilipschitz-äquivalent, womit die Wachstumsrate der Folge nur von der Gruppe $G$ und nicht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

Beispiele

• Das Wachstum von $\mathbb{Z}$ ist linear.
• Das Wachstum von ${\mathbb{Z}}^2$ ist quadratisch.
• Das Wachstum einer nilpotenten Gruppe ist polynomiell vom Grad $\sum rk(L_i(G))$, wobei $L_i(G)$ die abelschen Gruppen in der absteigenden Zentralreihe von $G$ und $rk(L_i(G))$ ihr Rang sind (Bass-Guivarc‘h-Formel).
• Satz von Gromov: Eine Gruppe hat genau dann polynomielles Wachstum, wenn sie virtuell nilpotent ist.
• Satz von Milnor-Wolf: Eine auflösbare Gruppe hat entweder polynomielles oder exponentielles Wachstum.
• Die Grigortschuk-Gruppe hat subexponentielles, aber nicht polynomielles Wachstum.
• Das Wachstum einer nichtabelschen freien Gruppe ist exponentiell.
• Fundamentalgruppen kompakter riemannscher Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung haben exponentielles Wachstum.

Literatur

• J. Milnor: Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry 2 (1968), 447–449.

Weblinks

• M. Duchin: Counting in Groups: Fine Asymptotic Geometry, Notices of the American Mathematical Society, September 2016