Kronecker-Paarung

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie definiert die Kronecker-Paarung eine Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.

Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum, $k$ eine natürliche Zahl, $h\in H_k(X;\mathbb{Z})$ eine Homologieklasse und $\beta \in H^k(X;A)$ eine Kohomologieklasse mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe $A$. Dann ist die Kronecker-Paarung von $\beta$ und $h$ durch

$⟨\beta ,h⟩:=c(z)\in A$

definiert, wobei $c\in C^k(X;A)$ ein die Kohomologieklasse $\beta$ repräsentierender Kozykel und $z\in C_k(X)$ ein die Homologieklasse $h$ repräsentierender Zykel ist.

Man kann zeigen, dass die Kronecker-Paarung wohldefiniert ist, dass also der Wert von $c(z)$ nicht von der Auswahl des die Kohomologieklasse repräsentierenden Kozykels $c$ oder des die Homologieklasse repräsentierenden Zykels $z$ abhängt.

Surjektivität

Aus dem Universellen Koeffiziententheorem folgt, dass der durch die Kronecker-Paarung definierte Homomorphismus

$H^k(X;A)\to \mathrm{Hom}(H_k(X),A)$

ein Epimorphismus ist.

Literatur

• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X.

Weblinks

• Kronecker pairing auf nLab (englisch)