Charakteristische Zahl

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie werden charakteristische Zahlen durch Anwendung von Kombinationen charakteristischer Klassen auf die Fundamentalklasse einer Mannigfaltigkeit definiert. Von Bedeutung sind vor allem Pontrjagin-Zahlen und Stiefel-Whitney-Zahlen.

Stiefel-Whitney-Zahlen

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und $TM$ ihr Tangentialbündel. Zu jeder Partition von $n$ (d. h. jeder Zerlegung $n=n_1+\dots +n_k$ als Summe positiver ganzer Zahlen) hat man eine Stiefel-Whitney-Zahl

$⟨w_{n_1}(TM)\cap \dots \cap w_{n_k}(TM),\left[M\right]⟩\in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$,

wobei $w_i(TM)\in H^i(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ die $i$-te Stiefel-Whitney-Klasse des Tangentialbündels, $\cap$ das Cup-Produkt, $\left[M\right]\in H_n(M;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ die $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-Fundamentalklasse sowie $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Pontrjagin-Zahlen

Es sei $M$ eine orientierbare, $4n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und $TM$ ihr Tangentialbündel. Zu jeder Partition von $n$ hat man eine Pontrjagin-Zahl

$⟨p_{n_1}(TM)\cap \dots \cap p_{n_k}(TM),\left[M\right]⟩\in \mathbb{Z}$,

wobei $p_i(TM)\in H^{4i}(M;\mathbb{Z})$ die $i$-te Pontrjagin-Klasse des Tangentialbündels, $\cap$ das Cup-Produkt, $\left[M\right]\in H_{4n}(M;\mathbb{Z})$ die Fundamentalklasse sowie $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ die Kronecker-Paarung bezeichnet.

Literatur

• John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974.