Asymptotische Dimension

In der Mathematik ist die asymptotische Dimension eine Invariante metrischer Räume, die vor allem in der geometrischen Gruppentheorie von Bedeutung ist.

Definition

Die asymptotische Dimension $\mathrm{asdim}(X)$ eines metrischen Raumes $X$ ist die kleinste natürliche Zahl $n$ mit folgender Eigenschaft:

für jedes $R>0$ gibt es eine Überdeckung von $X$ durch offene Mengen $U_{\alpha }$ von beschränktem Durchmesser, so dass für jedes $x\in X$ die metrische Kugel $B(x,R)$ höchstens $n+1$ dieser Mengen schneidet.

Beispiele

• Die asymptotische Dimension eines kompakten Raums ist 0.
• Die asymptotische Dimension des euklidischen Raums ${ℝ}^n$ ist $n$.
• Die asymptotische Dimension eines Gromov-hyperbolischen Raums ist $1+\dim ({\partial }_{\mathrm{\infty }}X)$, wobei ${\partial }_{\mathrm{\infty }}X$ den Rand im Unendlichen bezeichnet.

Eigenschaften

• Aus $Y\subset X$ folgt $\mathrm{asdim}(Y)\le \mathrm{asdim}(X)$.
• Die asymptotische Dimension ist invariant unter Quasi-Isometrien und allgemeiner unter groben Isometrien.
• Für Produkträume gilt $\mathrm{asdim}(X\times Y)\le \mathrm{asdim}(X)+\mathrm{asdim}(Y)$.
• Satz von Bell-Dranishnikov: Sei $X$ ein geodätischer metrischer Raum, $f:X\to Y$ eine Lipschitz-stetige Abbildung und für alle $R>0$ und alle $y\in Y$ sei $\mathrm{asdim}(f^{-1}(B(y,R)))\le n$, dann gilt $\mathrm{asdim}(X)\le \mathrm{asdim}(Y)+n$.

Weblinks

• Bell-Dranishnikov: Asymptotic Dimension