Graßmann-Zahl

Die Graßmann-Zahlen (nach Hermann Graßmann, häufig auch in Englischer Sprache angepasster Schreibweise Grassmann) sind antikommutierende Zahlen, die im Rahmen des Pfadintegral-Formalismus für Fermionen in den Quantenfeldtheorien auftreten. Ein Pionier ihrer Verwendung in der Quantenfeldtheorie war Felix Berezin. Danach sind sie mathematisch der Teil ungerader Parität einer ${\mathbb{Z}}_2$-gradierten Algebra aus kommutierenden (Parität $P=0$) und nicht-kommutierenden (Parität $P=1$) Elementen (Superalgebra). Für die Multiplikation gilt darin für je zwei Elemente $A,B$:

$AB=(-{)}^{P_A\cdot P_B}BA$.

Eigenschaften

Seien $\zeta ,\eta ,\theta$ Graßmann-Zahlen und $a,b,c,d\in ℂ$ komplexe Zahlen. Dann gilt

Definitorische Eigenschaften

• Graßmann-Zahlen sind antikommutativ bezüglich der Multiplikation:
  $\eta \theta =-\theta \eta$
• Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Addition:
  $\eta +\theta =\theta +\eta$
• Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Multiplikation mit einer komplexen Zahl:
  $a\eta =\eta a$
• Graßmann-Zahlen sind assoziativ sowohl bezüglich Addition als auch der Multiplikation
  $(\eta +\theta )+\zeta =\eta +(\theta +\zeta )$
  $(\eta \theta )\zeta =\eta (\theta \zeta )$
• Es gelten alle Ausprägungen des Distributivgesetzes:
  $a(\eta +\theta )=a\eta +a\theta$
  $\eta (\theta +\zeta )=\eta \theta +\eta \zeta$
  $\eta (a+b)=a\eta +b\eta$

Folgerungen

• Die Summe von zwei Graßmann-Zahlen ist eine Graßmann-Zahl:
  $\zeta (\eta +\theta )=-(\eta +\theta )\zeta$
• Das Produkt einer Graßmann-Zahl mit einer komplexen Zahl ist eine Graßmann-Zahl:
  $(a\eta )\theta =-\theta (a\eta )$
• Das Produkt von zwei Graßmann-Zahlen ist keine Graßmann-Zahl:
  $(\zeta \eta )\theta =-\zeta \theta \eta =\theta (\zeta \eta )$
• Insbesondere ist das Quadrat einer Graßmann-Zahl Null:
  ${\theta }^2=\theta \theta =-\theta \theta =0$
• Eine Funktion kann maximal erster Ordnung in einer Graßmann-Variable sein:
  $f(\eta ,\theta )=a+b\eta +c\theta +d\eta \theta$
  So ist beispielsweise mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion $\exp (\theta )=1+\theta$.

Integration und Differentiation

Es ist möglich, Integral- und Differentialrechnung in Bezug auf Graßmann-Zahlen analog zu der in Bezug auf Funktionen komplexer Zahlen zu definieren:

• Differentiation von Graßmann-Zahlen geschieht von links. Sei $f(\eta ,\theta )=a+b\eta +c\theta +d\eta \theta$. Dann ist:
  $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta }=b+d\theta$
  $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\theta }=c-d\eta$
• Die Integration soll wie gewöhnlich ein lineares Funktional aus dem Funktionenraum in die komplexen Zahlen darstellen, es soll also gelten:
  • $\int f(\theta )d\theta \in ℂ$
  • $\int (af(\theta )+bg(\theta )\mathrm{)}d\theta =a\int f(\theta )\mathrm{d}\theta +b\int g(\theta )\mathrm{d}\theta$
• Es folgen daraus die Integrationsregeln für Graßmann-Zahlen:
  $\int \theta \mathrm{d}\theta =1$
  $\int 1\mathrm{d}\theta =0$

Anwendung

Graßmann-Variablen werden für den Pfadintegral-Formalismus für Fermionen benötigt. Dazu definiert man das erzeugende Funktional

$𝒵[\eta ,\overline{\eta }]=\exp (-\mathrm{i}\int {\mathrm{d}}^{4}x(ℒ(\psi ,\overline{\psi })+\eta \overline{\psi }+\psi \overline{\eta }))$

mit der Lagrangedichte für Fermionen $ℒ$, den fermionischen Graßmann-wertigen Feldern $\psi ,\overline{\psi }$ und den Graßmann-Zahlen $\eta ,\overline{\eta }$. Dann gilt beispielsweise für die 2-Punkt Korrelationsfunktion (den fermionischen Propagator):

$⟨0|T(\psi (x)\overline{\psi }(y))|0⟩=\frac{\int 𝒟\psi 𝒟\overline{\psi }\psi (x)\overline{\psi }(y)𝒵}{\int 𝒟\psi 𝒟\overline{\psi }𝒵}{|}_{\eta ,\overline{\eta }=0}=\frac{1}{\int 𝒟\psi 𝒟\overline{\psi }𝒵{|}_{\eta ,\overline{\eta }=0}}\left(\frac{-\mathrm{i}\delta }{\delta \overline{\eta }(x)}\right)\left(\frac{\mathrm{i}\delta }{\delta \eta (y)}\right)\int 𝒟\psi 𝒟\overline{\psi }𝒵{|}_{\eta ,\overline{\eta }=0}$

Formale mathematische Definition

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis ${\theta }_i,i=1,\dots ,n$ und

$\mathrm{\Lambda }(V)=ℂ\oplus V\oplus (V\wedge V)\oplus (V\wedge V\wedge V)\oplus \cdots \oplus \underset{n}{\underbrace{(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V)}}\equiv ℂ\oplus {\mathrm{\Lambda }}^{1}V\oplus {\mathrm{\Lambda }}^{2}V\oplus \cdots \oplus {\mathrm{\Lambda }}^{n}V$

die äußere Algebra (Graßmann-Algebra) über $V$, wobei $\wedge$ das äußere Produkt und $\oplus$ die direkte Summe bezeichnet.

Die Graßmann-Zahlen sind die Elemente dieser Algebra.

Das Symbol $\wedge$ wird in der Notation für Graßmann-Zahlen meist weggelassen.

Graßmann-Zahlen sind also von der Form

$z=\sum _{k=0}^n\sum _{i_1,i_2,\cdots ,i_k}{c}_{i_1{i}_2\cdots i_k}{\theta }_{i_1}{\theta }_{i_2}\cdots {\theta }_{i_k},$

für streng wachsende $k$-Tupel $(i_1,i_2,\dots ,i_k)$ mit $1\le i_j\le n,1\le j\le k$, und komplexe antisymmetrische Tensoren $c_{i_1{i}_2\cdots i_k}$ vom Rang $k$.

Der Spezialfall $n=1$ entspricht den 1873 von William Clifford eingeführten dualen Zahlen.

Für unendlich-dimensionale Vektorräume $V$ bricht die Reihe

${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{\infty }}(V)=ℂ\oplus {\mathrm{\Lambda }}^{1}V\oplus {\mathrm{\Lambda }}^{2}V\oplus \cdots$

nicht ab und die Graßmann-Zahlen sind von der Form

$z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i_1,i_2,\cdots ,i_k}\frac{1}{n!}{c}_{i_1{i}_2\cdots i_k}{\theta }_{i_1}{\theta }_{i_2}\cdots {\theta }_{i_k}\equiv z_B+z_S=z_B+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{i_1,i_2,\cdots ,i_k}\frac{1}{n!}{c}_{i_1{i}_2\cdots i_k}{\theta }_{i_1}{\theta }_{i_2}\cdots {\theta }_{i_k},$

wobei dann $z_B$ als Körper und $z_S$ als Seele der Superzahl $z$ bezeichnet wird.

Literatur

• Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2.

Weblinks

• Varilly: Graßmann Numbers in Quantum Mechanics