Casimirs Trick

Casimirs Trick, nach dem niederländischen Physiker Hendrik Casimir benannt, ist ein Verfahren zur einfachen Berechnung von Spin-gemittelten quadrierten Matrixelementen in Quantenfeldtheorien.

Ein in den Quantenfeldtheorien häufig vorkommender Ausdruck ist das Matrixelement der S-Matrix $ℳ$, welche den Übergang von einem anfänglichen Zustand in einen Endzustand beschreibt. Dieses Matrixelement kann mithilfe von Feynman-Diagrammen graphisch dargestellt und in einen rigorosen mathematischen Ausdruck übersetzt werden. Sind Fermionen, also Teilchen mit einem Spin von $1/2$ beteiligt, so treten in den Berechnungen der Matrixelemente Dirac-Spinoren, also vierkomponentige Vektoren mit zusätzlichen Spin-Indizes auf.

Eine lorentzinvariante, skalare Größe ist das quadrierte Matrixelement ${\left|ℳ\right|}^2={ℳ}^{*}ℳ$, welches im Allgemeinen komplexe Ausdrücke aus Produkten von Dirac-Spinoren enthält. Ist man in der Rechnung jedoch nur an einem über alle möglichen Spin-Einstellungen gemittelten Matrixelement interessiert, lässt sich das Matrixelement mithilfe von Casimirs Trick in ein Produkt aus Spuren über Dirac-Matrizen überführen, die auf Basis der Dirac-Algebra einfach ausgeführt werden können.

Details

Bezeichnen $u(k),[\overline{v}(k)]$ die Spinoren für einlaufende [Anti-]Teilchen in Feynman-Diagrammen und $\overline{u}(k)[v(k)]$ Spinoren für auslaufende [Anti-]Teilchen, so gilt:

$\sum _{s_1,s_2}[{\overline{v}}^{s_1}(k)\mathrm{\Gamma }{u}^{s_2}(p)]{[{\overline{v}}^{s_1}(k){\mathrm{\Gamma }}^{\prime }{u}^{s_2}(p)]}^{*}=\text{Tr}\left[\mathrm{\Gamma }({\gamma }^{\alpha }{p}_{\alpha }+m_2){\overline{\mathrm{\Gamma }}}^{\prime }({\gamma }^{\beta }{k}_{\beta }-m_1)\right]$

$\sum _{s_1,s_2}[{\overline{u}}^{s_1}(k)\mathrm{\Gamma }{v}^{s_2}(p)]{[{\overline{u}}^{s_1}(k){\mathrm{\Gamma }}^{\prime }{v}^{s_2}(p)]}^{*}=\text{Tr}\left[\mathrm{\Gamma }({\gamma }^{\alpha }{p}_{\alpha }-m_2){\overline{\mathrm{\Gamma }}}^{\prime }({\gamma }^{\beta }{k}_{\beta }+m_1)\right]$

$\sum _{s_1,s_2}[{\overline{v}}^{s_1}(k)\mathrm{\Gamma }{v}^{s_2}(p)]{[{\overline{v}}^{s_1}(k){\mathrm{\Gamma }}^{\prime }{v}^{s_2}(p)]}^{*}=\text{Tr}\left[\mathrm{\Gamma }({\gamma }^{\alpha }{p}_{\alpha }-m_2){\overline{\mathrm{\Gamma }}}^{\prime }({\gamma }^{\beta }{k}_{\beta }-m_1)\right]$

$\sum _{s_1,s_2}[{\overline{u}}^{s_1}(k)\mathrm{\Gamma }{u}^{s_2}(p)]{[{\overline{u}}^{s_1}(k){\mathrm{\Gamma }}^{\prime }{u}^{s_2}(p)]}^{*}=\text{Tr}\left[\mathrm{\Gamma }({\gamma }^{\alpha }{p}_{\alpha }+m_2){\overline{\mathrm{\Gamma }}}^{\prime }({\gamma }^{\beta }{k}_{\beta }+m_1)\right]$

Dabei bezeichnet $\mathrm{\Gamma }$ eine beliebige $4\times 4$-Matrix, $\gamma$ die Dirac-Matrizen und ein Überstrich die Dirac-Adjungierte $\overline{\mathrm{\Gamma }}={\gamma }^0{\mathrm{\Gamma }}^{†}{\gamma }^0$. $m_i$ bezeichne die Massen der jeweiligen Teilchen/Antiteilchen, wobei der Index $i$ der gleiche wie bei der Zuordnung der Spins ist.

Mathematischer Hintergrund

Die Dirac-Spinoren lassen sich in zwei unabhängige Spinoren $u$ für Teilchen und $v$ für Antiteilchen zerlegen. Diese erfüllen jeweils eine Vollständigkeitsrelation

$\sum _{\text{Spins}}u(p)\overline{u}(p)={\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }+m$

$\sum _{\text{Spins}}v(k)\overline{v}(k)={\gamma }^{\mu }{k}_{\mu }-m$.

Im Matrixelement kommen typische Ausdrücke wie zum Beispiel $ℳ\propto \overline{v}(k)\mathrm{\Gamma }u(p)$ vor. Das quadrierte Matrixelement lautet also:

${\left|ℳ\right|}^2\propto [\overline{v}(k)\mathrm{\Gamma }u(p)]{[\overline{v}(k)\mathrm{\Gamma }u(p)]}^{*}=\overline{v}(k)\mathrm{\Gamma }u(p)\overline{u}(p)\overline{\mathrm{\Gamma }}v(k)$

Wenn über die Spin-Indizes summiert wird, so kann zuerst im mittleren Paar der Dirac-Spinoren die Vollständigkeitsrelation angewandt werden. Es ist im Folgenden zweckmäßig, die Spin-, Spinor- und Raumzeit-Indizes aus Gründen der Nachvollziehbarkeit nicht zu unterdrücken, wobei $s_1,s_2$ über die Spins, $\mu ,\nu ,\rho ,\sigma$ über die vier Komponenten der Spinoren und $\alpha ,\beta$ über die vier Dirac-Matrizen (Raumzeit-Indizes) summieren:

$\sum _{s_1,s_2}{\left|ℳ\right|}^2\propto \sum _{s_1,s_2}{\overline{v}}_{\mu }^{s_1}(k){\mathrm{\Gamma }}^{\mu \nu }{u}_{\nu }^{s_2}(p){\overline{u}}_{\rho }^{s_2}(p){\overline{\mathrm{\Gamma }}}^{\rho \sigma }{v}_{\sigma }^{s_1}(k)=\sum _{s_1}{\overline{v}}_{\mu }^{s_1}(k){\mathrm{\Gamma }}^{\mu \nu }{({\gamma }^{\alpha }{p}_{\alpha }+m_2)}_{\nu \rho }{\overline{\mathrm{\Gamma }}}^{\rho \sigma }{v}_{\sigma }^{s_1}(k)$.

In Komponentenschreibweise ist offensichtlicher, dass die Summation über $s_1$ einfach vollzogen werden kann, da alle Objekte nun kommutieren; es gilt somit

$\sum _{s_1,s_2}{\left|ℳ\right|}^2\propto {\mathrm{\Gamma }}^{\mu \nu }{({\gamma }^{\alpha }{p}_{\alpha }+m_2)}_{\nu \rho }{\overline{\mathrm{\Gamma }}}^{\rho \sigma }{({\gamma }^{\beta }{k}_{\beta }-m_1)}_{\sigma \mu }=\text{Tr}\left[\mathrm{\Gamma }({\gamma }^{\alpha }{p}_{\alpha }+m_2)\overline{\mathrm{\Gamma }}({\gamma }^{\beta }{k}_{\beta }-m_1)\right]$

Für die anderen drei Fälle läuft der Beweis analog.

Beispiel: Elektron-Myon-Streuung

Bezeichnen $p[p^{\prime }]$ den Impuls des ein[aus]laufenden Elektrons und $k[k^{\prime }]$ den des ein[aus]laufenden Myons, so lautet das Matrixelement der Elektron-Myon-Streuung $e^{-}{\mu }^{-}\to e^{-}{\mu }^{-}$ in niedrigster Ordnung in der Quantenelektrodynamik:

$ℳ=\overline{u}(p)(\mathrm{i}e{\gamma }^{\mu })u(p^{\prime })\frac{\mathrm{i}{g}_{\mu \nu }}{(p+k{)}^2}\overline{u}(k^{\prime })(\mathrm{i}e{\gamma }^{\nu })u(k)$

Wird über die Spins der einlaufenden Teilchen gemittelt und über die Spins der auslaufenden Teilchen summiert, so ergibt sich nach zweimaliger Anwendung von Casimirs Trick

$\frac{1}{4}\sum _{s_1,s_2,s{\text{'}}_1,s{\text{'}}_2}{\left|ℳ\right|}^2=\frac{1}{4}\frac{e^4}{(p+k{)}^4}\text{Tr}[{\gamma }^{\mu }({\gamma }^{\alpha }{p}_{\alpha }+m_e){\gamma }^{\nu }({\gamma }^{\beta }p{\text{'}}_{\beta }+m_e)]\text{Tr}[{\gamma }_{\mu }({\gamma }^{\alpha }{k}_{\alpha }+m_{\mu }){\gamma }_{\nu }({\gamma }^{\beta }k{\text{'}}_{\beta }+m_{\mu })]$

Literatur

• David Griffiths: Einführung in die Elementarteilchenphysik. Übersetzt von Thomas Stange. Akademie-Verlag, Berlin 1996, ISBN 3-05-501627-0.
• Abraham Pais: Inward Bound. Oxford, New York 1986, ISBN 978-0198519713.