Shapiro-Ungleichung

Die Shapiro-Ungleichung ist eine für Folgen positiver Zahlen geltende Ungleichung der Mathematik. Sie ist nach Harold Shapiro benannt.

Ungleichung

Es sei

x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots

eine Folge positiver reeller Zahlen.

Dann gilt für alle geraden Zahlen $n \leq 12$ und alle ungeraden Zahlen $n \leq 23$ die Ungleichung

\frac{x_{1}}{x_{2} + x_{3}} + \frac{x_{2}}{x_{3} + x_{4}} + \dots + \frac{x_{n - 2}}{x_{n - 1} + x_{n}} + \frac{x_{n - 1}}{x_{n} + x_{1}} + \frac{x_{n}}{x_{1} + x_{2}} \geq \frac{n}{2}

.

Die Ungleichung gilt im Allgemeinen nicht für gerade Zahlen $n \geq 14$ und für ungerade Zahlen $n \geq 25$ .

Das einfachste bekannte Gegenbeispiel für $n = 14$ ist die Folge

ϵ, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, ϵ, 40

für hinreichend kleine $ϵ > 0$ .

H. S. Shapiro: Advanced Problems and Solutions, Amer. Math. Monthly 61 (1954), 571–572.
B. A. Troesch: The validity of Shapiro's cyclic inequality. Math. Comp. 53 (1989), no. 188, 657–664.
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A. Clausing: A review of Shapiro's cyclic inequality. General inequalities, 6 (Oberwolfach, 1990), 17–31, Internat. Ser. Numer. Math., 103, Birkhäuser, Basel, 1992.
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T. Ando: A new proof of Shapiro inequality. Math. Inequal. Appl. 16 (2013), no. 3, 611–632.