Projektive Basis

In der projektiven Ebene bilden vier projektiv unabhängige Punkte eine projektive Basis

Eine projektive Basis ist in der Mathematik eine Menge von $n+2$ Punkten eines $n$-dimensionalen projektiven Raums, von denen je $n+1$ projektiv unabhängig sind. Projektive Basen werden in der projektiven Geometrie zur Charakterisierung von Projektivitäten und zur Definition projektiver Koordinaten verwendet.

Definition

Ein $(n+1)$-Tupel $(P_0,\dots P_n)$ von Punkten eines projektiven Raums $P(V)$ über einem $K$-Vektorraum $V$ heißt projektiv unabhängig, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

• Es gibt linear unabhängige Vektoren $v_0,\dots ,v_n\in V$ mit $P_i=K{v}_i$ für $i=0,\dots ,n$.
• Jedes $(n+1)$-Tupel $(v_0,\dots ,v_n)$ von Vektoren aus $V$ mit $P_i=K{v}_i$ für $i=0,\dots ,n$ ist linear unabhängig.
• Für die Dimension des Verbindungsraums der Punkte gilt $\dim (P_0\vee P_1\vee \dots \vee P_n)=n$.

Ein $(n+2)$-Tupel $(P_0,\dots P_{n+1})$ von Punkten eines projektiven Raums heißt projektive Basis des Raums, wenn je $n+1$ Punkte projektiv unabhängig sind. Es gilt dann $\dim P(V)=n$.

Spezialfälle

• $n=1$: drei Punkte auf einer projektiven Geraden bilden genau dann eine projektive Basis, wenn sie paarweise verschieden sind.
• $n=2$: vier Punkte auf einer projektiven Ebene bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine drei davon auf einer Geraden liegen. Die vier Punkte bestimmen also ein vollständiges Viereck.
• $n=3$: fünf Punkte in einem dreidimensionalen projektiven Raum bilden genau dann eine projektive Basis, wenn keine vier davon in einer Ebene liegen.

Projektive Standardbasis

Die projektive Standardbasis $(E_0,\dots ,E_{n+1})$ im projektiven Standardraum $K{P}^n$ besteht aus den von den Standard-Basisvektoren $e_0,\dots ,e_n$ des Koordinatenraums $K^{n+1}$ erzeugten Punkten

$E_i=K{e}_i,i=0,\dots ,n$,

zusammen mit dem Einheitspunkt

$E_{n+1}=K(e_0+\dots +e_n)$.

In homogenen Koordinaten ergeben sich beispielsweise folgende projektiven Standardbasen:

• In der projektiven Gerade $K{P}^1$ über einem Körper $K$ bilden die $3$ Punkte $[1:0],[0:1]$ und $[1:1]$ die projektive Standardbasis.
• In der projektiven Ebene $K{P}^2$ über einem Körper $K$ bilden die $4$ Punkte $[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1]$ und $[1:1:1]$ die projektive Standardbasis.

$\dots$

• Im $n$-dimensionalen projektiven Raum $K{P}^n$ über einem Körper $K$ bilden die $n+2$ Punkte $[1:0:\dots :0],[0:1:\dots :0],\dots ,[0:0:\dots :1]$ und $[1:1:\dots :1]$ die projektive Standardbasis.

Verwendung

Ist $(P_0,\dots ,P_{n+1})$ eine beliebige projektive Basis eines projektiven Raums $P(V)$, dann gibt es eine Basis $(v_0,\dots ,v_n)$ von $V$, sodass

$P_0=K{v}_0,\dots ,P_n=K{v}_n\text{und}{P}_{n+1}=K(v_0+\dots +v_n)$

gilt. Sind nun $P(V)$ und $P(W)$ zwei projektive Räume gleicher Dimension mit projektiven Basen $(P_0,\dots ,P_{n+1})$ und $(Q_0,\dots ,Q_{n+1})$, dann gibt es genau eine projektive Abbildung $f:P(V)\to P(W)$, sodass

$f(P_i)=Q_i$

für $i=0,\dots ,n+1$ gilt. Demnach ist eine projektive Abbildung zwischen projektiven Räumen gleicher Dimension durch Angabe der Bilder der projektiven Basispunkte eindeutig charakterisiert. Solche Abbildungen lassen sich daher durch Matrizen der Größe $(n+1)\times (n+1)$ beschreiben. Weiter lassen sich in einem projektiven Raum $P(V)$ mit der projektiven Basis $(P_0,\dots ,P_{n+1})$ mit Hilfe der projektiven Abbildung

$K{P}^n\to P(V),E_i\mapsto P_i\text{für}i=0,\dots ,n+1$

homogene projektive Koordinaten definieren.

Literatur

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