Graph von Gruppen

In der Mathematik sind Graphen von Gruppen eine Konstruktion der Gruppentheorie, mit der iterierte amalgamierte Produkte und HNN-Erweiterungen konstruiert werden können und die in der Bass-Serre-Theorie von Bedeutung ist.

Definition

Ein Graph von Gruppen wird durch die folgenden Daten gegeben:

• ein gerichteter zusammenhängender Graph $(E,K)$, so dass für jede Kante $k=(e_0,e_1)\in K$ auch die umgedrehte Kante $\bar{k}=(e_1,e_0)$ zu $K$ gehört
• eine „Eckengruppe“ $G_e$ für jede Ecke $e\in E$
• eine „Kantengruppe“ $G_k$ für jede Kante $k\in K$, so dass $G_k=G_{\bar{k}}$ für alle $k$
• injektive Homomorphismen ${\alpha }_{k,i}:G_k\to G_{e_i},i=0,1$ für jede Kante $k=(e_0,e_1)\in K$

Fundamentalgruppe

Für die Definition der Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen muss zunächst ein Spannbaum $T$ im Graphen $(E,K)$ gewählt werden. Die Fundamentalgruppe ist letztlich aber vom gewählten Spannbaum unabhängig.

Die Fundamentalgruppe des Graphen von Gruppen ist definiert als das freie Produkt

$({\ast }_{e\in E}{G}_e)\ast F(K)$

(wobei $F(K)$ die freie Gruppe mit Basis $K$ bezeichnet) modulo der folgenden Relationen:

• $\bar{k}{\alpha }_{k,0}(g)k={\alpha }_{k,1}(g)$ für alle $k\in K,g\in G_k$
• $\bar{k}k=1$ für alle $k\in K$
• $k=1$ für alle im Spannbaum $T$ vorkommenden Kanten

Beispiele

• Es sei $(E,K)$ der aus einer Kante $k=(e_0,e_1)$ mit zwei Eckpunkten $e_0,e_1$ bestehende Graph. Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen das amalgamierte Produkt

$G_{e_0}{*}_{G_k}{G}_{e_1}$.

• Es sei $(E,K)$ der aus einer Kante $k=(e,e)$ mit zwei übereinstimmenden Eckpunkten $e_0=e_1$ bestehende Graph (eine „Schleife“). Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen die HNN-Erweiterung

$G_e{*}_{\alpha }$

für den durch

$\alpha :={\alpha }_{k,1}({\alpha }_{k,0}{)}^{-1}:{\alpha }_{k,0}(G_k)\to {\alpha }_{k,1}(G_k)$

gegebenen Homomorphismus $\alpha$ zwischen den Untergruppen ${\alpha }_{k,0}(G_k)$ und ${\alpha }_{k,1}(G_k)$ von $G_e$.

Siehe auch

• Bass-Serre-Baum

Literatur

• Jean-Pierre Serre: Arbres, amalgames, SL₂. Rédigé avec la collaboration de Hyman Bass. Astérisque, No. 46. Société Mathématique de France, Paris, 1977.
• englische Übersetzung: Trees. Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44237-5