S-Dualität (Homotopietheorie)

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet S-Dualität eine Dualität zwischen topologischen Spektren und damit zwischen verallgemeinerten Homologie- und Kohomologietheorien.

Definition

Es seien $A$ und $A^{*}$ zwei Spektra. Wir bezeichnen mit $A\wedge A^{*}$ ihr Smash-Produkt und mit $𝐒$ das Sphärenspektrum.

Ein Dualitätsmorphismus oder eine Dualität zwischen $A$ und $A^{*}$ ist ein Morphismus von Spektren

$u:𝐒\to A\wedge A^{*}$

so dass für jedes Spektrum $E$ die durch

$u_E(\varphi ):=(\varphi \wedge i{d}_{A^{*}})u$

$u^E(\varphi ):=(i{d}_A\wedge \varphi )u$

definierten Abbildungen

$u_E:[A,E]\to [𝐒,E\wedge A^{*}]$

$u^E:[A^{*},E]\to [𝐒,A\wedge E]$

Bijektionen sind.

Die Spektren $A$ und $A^{*}$ heißen S-dual, wenn es einen Dualitätsmorphismus $u:𝐒\to A\wedge A^{*}$ gibt. S-Dualität ist eine symmetrische Relation.

Zwei Spektren $A$ und $B$ heißen $n$-dual für $n\in \mathbb{N}$, wenn $A$ und ${\mathrm{\Sigma }}^{n}B$ S-dual sind. Dabei bezeichnet ${\mathrm{\Sigma }}^{n}B$ das durch $({\mathrm{\Sigma }}^{n}B{)}_k=B_{k+n}$ definierte Spektrum.

S-dualer Morphismus

Seien $u:𝐒\to A\wedge A^{*}$ und $v:𝐒\to B\wedge B^{*}$ zwei Dualitätsmorphismen, dann ist zu jedem Morphismus

$f:A\to B$

sein S-dualer Morphismus

$f^{*}:B^{*}\to A^{*}$

definiert als das Bild von $f$ unter dem Isomorphismus

$(v^{A^{*}}{)}^{-1}{u}_B:[A,B]\to [𝐒,B\wedge A^{*}]\to [B^{*},A^{*}]$.

($f^{*}$ ist also wohldefiniert bis auf Homotopie.)

Insbesondere ist $f\in [A,B]$ genau dann S-dual zu $g\in [B^{*},A^{*}]$, wenn $u_B(f)=v_{A^{*}}(g)$.

Beispiele

• Die kanonische Äquivalenz $u:𝐒\to {\mathrm{\Sigma }}^n𝐒\wedge {\mathrm{\Sigma }}^{-n}𝐒$ ist eine S-Dualität.
• Für eine geschlossene $n$-Mannigfaltigkeit $M$ mit Einhängungsspektrum ${\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}M$ wird die Milnor-Spanier S-Dualität

$u:𝐒\to Th({\nu }_M)\wedge {\mathrm{\Sigma }}^{-n}{\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}{M}_{+}$

definiert wie folgt: Wähle eine Einbettung $M\subset S^N$ für ein $N\gg n$ und eine Tubenumgebung $M\subset U\subset S^N$ mit Projektion $p:\bar{U}\to M$. Dann ist $Th({\nu }_M)\simeq \bar{U}/\partial \bar{U}$ und wir betrachten die Komposition

$f:S^N\to \bar{U}/\partial \bar{U}\to \bar{U}/\partial \bar{U}\wedge M_{+}$,

wobei die erste Abbildung $S^N-U$ auf einen Punkt kollabiert und die zweite Abbildung von $(id,p)$ induziert wird. Dann ist

$u:={\mathrm{\Sigma }}^{-N}{\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}f:𝐒\to Th({\nu }_M)\wedge {\mathrm{\Sigma }}^{-n}{\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}{M}_{+}$

eine S-Dualität.

Falls $M$ bzgl. eines Ringspektrums $E$ orientierbar ist, dann entsprechen die kohomologischen $E$-Orientierungen (Thom-Klassen) unter

$u_E:[Th({\nu }_M),E]\to [𝐒,E\wedge {\mathrm{\Sigma }}^{-n}{\mathrm{\Sigma }}^{\mathrm{\infty }}{M}_{+}]$

den homologischen $E$-Orientierungen (Fundamentalklassen).

Literatur

• Y. B. Rudyak: On Thom spectra, orientability, and cobordism, Springer-Verlag, 1998, Corrected reprint 2008

Weblinks

• Spanier-Whitehead: Duality in homotopy theory
• Milnor-Spanier: Two remarks on fiber homotopy type