Cartan-Unteralgebra

In der Mathematik, speziell in der Theorie der Lie-Algebren, werden Cartan-Unteralgebren unter anderem in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren und in der Theorie der symmetrischen Räume verwendet. Der Rang einer Lie-Algebra (oder der zugehörigen Lie-Gruppe) ist definiert als die Dimension der Cartan-Unteralgebra. Ein Beispiel einer Cartan-Unteralgebra ist die Algebra der Diagonalmatrizen.

Definition

Es sei $𝔤$ eine Lie-Algebra. Eine Unteralgebra $𝔞\subset 𝔤$ ist eine Cartan-Unteralgebra, wenn sie nilpotent und selbstnormalisierend ist, das heißt, wenn

• $\underset{n}{\underbrace{[𝔞,[𝔞,[\cdots ,[𝔞,𝔞}}]\cdots ]]]=0$  für ein $n\in \mathbb{N}$ und
• $\mathrm{\forall }Y\in ̸𝔞\mathrm{\exists }X\in 𝔞:[X,Y]\in ̸𝔞$

gilt.

Beispiele

Eine Cartan-Unteralgebra von

$𝔤=𝔰𝔩(n,ℂ)=\{A\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n,ℂ):\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A)=0\}$

ist die Algebra der Diagonalmatrizen

${𝔞}_0=\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n):{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n=0\}$.

Jede Cartan-Unteralgebra $𝔞\subset 𝔰𝔩(n,ℂ)$ ist zu ${𝔞}_0$ konjugiert.

Dagegen hat $𝔰𝔩(2,ℝ)$ zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren, nämlich

${𝔞}_1=ℝ\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

und

${𝔞}_2=ℝ\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Existenz und Eindeutigkeit

Eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem unendlichen Körper besitzt stets eine Cartan-Unteralgebra.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem Körper mit Charakteristik $0$ gilt, dass alle Cartan-Unteralgebren dieselbe Dimension haben.

Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert, und zwar unter der Gruppe, welche von den Automorphismen $\exp (\mathrm{a}\mathrm{d}(X))$ erzeugt wird (für $X$ in der Lie-Algebra und $\mathrm{a}\mathrm{d}(X)$ nilpotent).

Eigenschaften

Wenn $𝔤$ eine halbeinfache Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, dann ist jede Cartan-Unteralgebra $𝔞\subset 𝔤$ abelsch und die Einschränkung der adjungierten Darstellung $\mathrm{a}\mathrm{d}:𝔤\to 𝔤𝔩(𝔤)$ auf $𝔞$ ist simultan diagonalisierbar mit $𝔞$ als Eigenraum zum Gewicht $0$. Das heißt, es gibt eine Zerlegung

$𝔤=𝔞\oplus \underset{\alpha \in {𝔞}^{*}}{⨁}{𝔤}_{\alpha }$

mit

$\mathrm{a}\mathrm{d}(X)(Y)=[X,Y]=\alpha (X)Y\mathrm{\forall }X\in 𝔞,Y\in {𝔤}_{\alpha }$

und

${𝔤}_{\alpha }=0⟹\alpha (X)=0\mathrm{\forall }X\in 𝔞$.

Im Beispiel

$𝔤=𝔰𝔩(n,ℂ)=\{A\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n,ℂ):\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A)=0\},$

$𝔞=\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n):{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n=0\}$

ist, wenn $e_{ij}$ die Elementarmatrix mit Eintrag $1$ an der Stelle $(i,j)$ und Einträgen $0$ sonst bezeichnet

$𝔤=𝔞\oplus \underset{i=j}{⨁}ℂe_{ij}=𝔞\oplus \underset{\alpha \in {𝔞}^{*}}{⨁}{𝔤}_{\alpha }$

mit $ℂe_{ij}={𝔤}_{\alpha }$ für

$\alpha ({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)={\lambda }_i-{\lambda }_j$.

Literatur

• Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.
• Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.