Wieferich-Primzahl

Eine Wieferich-Primzahl ist eine Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass $2^{p-1}-1$ durch $p^2$ teilbar ist.

Alternativ kann man dies auch als Kongruenz schreiben:

$2^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^2).$

Solche Primzahlen wurden 1909 von dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich erstmals beschrieben.

Bekannte Wieferich-Primzahlen

Man kennt bisher nur zwei Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (Waldemar Meißner 1913) und 3511 (Beeger 1922). Mit Computerhilfe wurden bis November 2008 alle Zahlen bis 6,7 × 10¹⁵ untersucht, weitere Wieferich-Primzahlen fand man dabei nicht. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Es besteht sowohl die Vermutung, dass dies nicht der Fall ist, als auch die gegenteilige, genauer: dass zwischen $x$ und $y$ etwa $\log (\log (y)/\log (x))$ Wieferich-Primzahlen liegen. Es ist sogar noch offen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die keine Wieferich-Primzahlen sind. Joseph Silverman zeigte dies 1988 unter Annahme der abc-Vermutung.

Verwandtschaft mit dem großen Fermatschen Satz

Wieferich beschäftigte sich mit dem großen Fermatschen Satz. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den Satz:

Wenn $x^p+y^p+z^p=0$, wobei $x,y$ und $z$ ganze Zahlen sind, $p$ eine Primzahl ist und das Produkt $xyz$ nicht teilbar durch $p$, dann ist $p$ eine Wieferich-Primzahl, also $2^{p-1}-1$ durch $p^2$ teilbar.

1910 zeigte Dmitry Mirimanoff, dass dann auch $3^{p-1}-1$ durch $p^2$ teilbar ist. Die einzigen bekannten Primzahlen, die diese Bedingung erfüllen, sind $p=11$ und $p=1006003$ (Kloss 1965).

Aus dem 1995 bewiesenen großen Fermatschen Satz folgt, dass die Voraussetzungen des Satzes von Wieferich nicht erfüllt werden können.

Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen

• Aus der Wieferich-Primzahl $w$ kann die Mersenne-Zahl $M_n=M_{w-1}=2^{w-1}-1$ als Produkt $M_{w-1}=k{w}^2$ konstruiert werden.

$n=w-1$ ist somit (trivialerweise, da $n$ geradzahlig) nicht prim, und $M_n$ keine Mersenne-Primzahl.

• Offen ist die Frage, ob es Mersenne-Zahlen $M_p<M_{w-1}$ (mit primen Exponenten $p$) gibt, die durch $w^2$ teilbar sind. Dabei muss $p$ ein Teiler von $w-1$ sein, wenn $M_p$ durch $w$ teilbar sein soll.

Dieser Sachverhalt kann mit gruppentheoretischen Begriffen ausgedrückt werden:

Da $w-1$ nicht prim ist, handelt es sich bei $2^{w-1}-1$ nicht um eine mersennesche Zahl. Es müsste also eine mersennesche Zahl $2^p-1$ mit $p=\frac{w-1}{x}$ geben, die durch $w^2$ teilbar ist; d. h., dass die Länge $g(w)$ der multiplikativen zyklischen Subgruppe von $w$ zur Basis 2 prim sein müsste.

Es sind aber empirisch die Gruppenordnungen der einzigen bekannten Wieferichprimzahlen $g(1093)=364=4\cdot 7\cdot 13$ und $g(3511)=1755=3^3\cdot 5\cdot 13$ nicht prim.

Dass Mersenne-Zahlen quadratfrei sind, scheint bisher nur ein empirisches Resultat zu sein. Mathworld formuliert bspw. "Alle bekannten Mersenne Zahlen $2^p-1$ sind quadratfrei. Allerdings vermutet GUY (1994), dass es Mersenne-Zahlen gibt, die nicht quadratfrei sind".

• Unterschied zu anderen Basen als 2: für andere Basen als 2 und die entsprechenden Äquivalente zu Mersenne- und Wieferichzahlen trifft dies nicht zu.

Bspw. ist zur Basis 3 mit $\frac{3^5-1}{3-1}=11^2$ die Bedingung $w^2$ teilt $3^p-1$ (mit $w,p$ prim) erfüllt.

Zur Basis 2819 tritt $w=19$ bei $2819^3-1=x\cdot 19^4$ das Wieferich-analog $w=19$ sogar zur Potenz 4 auf. Die Quadratfreiheit von Mersenne-Zahlen (zur Basis 2) muss demnach eine besondere Eigenschaft der Basis 2 (und möglicherweise weiterer Basen) sein, falls sie generell zutreffen sollte.

• Für eine Wieferich-Primzahl $p$ gilt:

$2^{p^2}\equiv 2(\mathrm{mod}{p}^2).$

• Mit $2^n\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ tritt stets gleichzeitig $2^n\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^2)$ auf.

Literatur

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch; aktualisierte Übersetzung von The little book of bigger primes. Springer, New York 2004)

Weblinks

• Wieferich@Home - search for Wieferich prime. (englisch)
• Vorlage:MathWorld
• Wieferich prime. bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)