Satz von Malcev

Als Satz von Malcev wird in der Mathematik ein grundlegender Sachverhalt über Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe bezeichnet.

Satz von Malcev

Jede endlich erzeugte Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset GL(n,ℂ)$ ist residuell endlich, das heißt zu jedem $a\in \mathrm{\Gamma }\setminus \left\{1\right\}$ gibt es einen Homomorphismus $\varphi :\mathrm{\Gamma }\to F$ auf eine endliche Gruppe $F$ mit $\varphi (a)=1$. (Äquivalent: zu jedem $a\in \mathrm{\Gamma }\setminus \left\{1\right\}$ gibt es eine Untergruppe von endlichem Index ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }\subset \mathrm{\Gamma }$ mit $a\notin {\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$.)

Dieser Satz wird auch als Lemma von Selberg bezeichnet, obwohl er zuerst von Malcev bewiesen wurde.

Eine topologische Interpretation: Sei $M$ eine 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit (oder allgemeiner ein nach $SL(n,ℂ)/SU(n)$ oder $SL(n,ℝ)/SO(n)$ modellierter lokal symmetrischer Raum), dann gibt es zu jeder geschlossenen Kurve $\gamma \subset M$ eine endliche Überlagerung $\hat{M}\to M$, in der die hochgehobene Kurve $\hat{\gamma }$ nicht geschlossen ist.

Literatur

• A. Malcev: On isomorphic matrix representations of infinite groups. In: Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. Band 8, Nr. 50, 1940, S. 405–422. (russisch)

Weblinks

• Nica: Linear groups - Malcev's theorem and Selberg's lemma
• Wilton: Residual finiteness