Farey-Graph

Farey-Graph

In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.

Definition

Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist $\mathbb{Q}\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\}$, also die Menge aller Paare

$\{\frac{p}{q}:p,q\in \mathbb{Z}\text{teilerfremd},q\ge 0\}$,

wobei $\mathrm{\infty }$ als $\frac{1}{0}$ aufgefasst wird.

Zwei Knoten $\frac{a}{c}$ und $\frac{b}{d}$ sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn

$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\pm 1$

gilt.

Anwendungen

• Farey-Folgen werden durch Farey-Diagramme $F_n$ beschrieben, der Farey-Graph ist die Vereinigung ${\cup }_n{F}_n$ aller Farey-Diagramme.
• In der Theorie der Kettenbrüche wird der Farey-Graph verwendet, um zu beweisen, dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist.
• Die Modulgruppe $SL(2,\mathbb{Z})$ und ihr Quotient $PSL(2,\mathbb{Z})=SL(2,\mathbb{Z})/\pm I$ wirken durch gebrochen-lineare Transformationen auf $\mathbb{Q}\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\}$ und bilden dabei adjazente Knoten des Farey-Graphen wieder auf adjazente Knoten ab.
• Die Einbettung des Farey-Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung $\mathbb{Q}\cup \left\{\mathrm{\infty }\right\}=P^1\mathbb{Q}\subset P^1ℝ={\partial }_{\mathrm{\infty }}{H}^2$ und Realisierung der Kanten als Geodäten gibt die Farey-Tesselation der hyperbolischen Ebene.
• Die Coxeter-Gruppe $G=⟨a,b,c|a^2=b^2=c^2=1⟩$ (d. h. die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks) wirkt auf dem Fareygraphen durch

$a\to \pm \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),b\to \pm \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& -1\end{array}\right),c\to \pm \left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$,

jedes der Dreiecke der Farey-Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von $G$ auf der hyperbolischen Ebene.

• Der Kurvenkomplex des punktierten Torus ist der Farey-Graph, die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf dem Kurvenkomplex ist die Wirkung von $SL(2,\mathbb{Z})$ auf dem Farey-Graphen.

Weblinks

• The Farey diagram (PDF; 675 kB)
• Distance formula in Farey graph