Imaginärer Kugelkreis

Als imaginärer Kugelkreis, auch unendlich ferner oder uneigentlicher Kugelkreis oder absoluter Kegelschnitt oder Maßkegelschnitt genannt, wird in der projektiven Geometrie über $P^3(ℂ)$ der Kreis auf der unendlich fernen Ebene $E_{\mathrm{\infty }}$ bezeichnet, der auf allen Kugeln liegt. Dieser Kreis ist den beiden Punkten in $P^2(ℂ)$ (den sogenannten Kreispunkten), die auf allen Kreisen liegen, analog. $P^3(ℂ)$ ist nichteuklidisch und, wenn man den Anschauungsraum ${ℝ}^3$ als Teilmenge von $P^3(ℂ)$ auffasst, so sind dieser und $E_{\mathrm{\infty }}$ disjunkt, weswegen sich der Kugelkreis der gewöhnlichen Anschauung entzieht.

Beschreibung

Sei $K$ eine Kugel in dem affinen Raum ${ℂ}^3$ mit Mittelpunkt $(a,b,c)$ und Radius $r$. Diese Kugel wird durch die Gleichung

$K:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=r^2$

beschrieben. Die Homogenisierung dieser Gleichung liefert als Gleichung über $P^3(ℂ)$

$K:(x-aw{)}^2+(y-bw{)}^2+(z-cw{)}^2=r^2{w}^2,$

wobei die Punkte nun durch homogene Koordinaten $(x,y,z,w)$ dargestellt werden. Da für $E_{\mathrm{\infty }}$ die Identität $w=0$ gilt, folgt:

$K\cap E_{\mathrm{\infty }}:x^2+y^2+z^2=0\wedge w=0$

$K\cap E_{\mathrm{\infty }}$ ist unabhängig vom Kugelmittelpunkt $(a,b,c)$ und vom Radius $r$, also liegt $K\cap E_{\mathrm{\infty }}$ auf allen Kugeln. Durch Umstellen erhält man dann zum Beispiel $x^2+y^2=(\mathrm{i}z{)}^2$ als Gleichung für einen Kreis mit Radius $\mathrm{i}z$ ($\mathrm{i}$ ist die imaginäre Einheit), was zeigt, weshalb Felix Klein diese Kurve $K\cap E_{\mathrm{\infty }}$ als imaginären Kreis bezeichnete. Man beachte, dass auch ein imaginärer Kreis mit Radius 0 aus mehr als einem Punkt besteht.

Umkehrung

Auch eine Umkehrung des Satzes, dass der Kugelkreis auf allen Kugeln liegt, gilt: Enthält eine Fläche zweiter Ordnung den Kugelkreis, so ist diese Fläche bereits eine Kugel, sofern sie nicht in zwei Ebenen entartet ist.

Quelle

• Felix Klein: Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie. Göttingen/Hannover 1928, Nachdruck Chelsea Publishing Company, New York, S. 135–137.