Linksendliche Menge

Eine linksendliche Menge ist eine Teilmenge der rationalen Zahlen, die für jedes $k\in \mathbb{Q}$ nur endlich viele Elemente $x$ mit $x<k$ enthält. Linksendliche Mengen werden zur Definition des Levi-Civita-Körpers benötigt.

Definition

Eine Menge $M\subset \mathbb{Q}$ heißt linksendlich genau dann, wenn $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Q}:|\{x\in M:x<k\}|<\mathrm{\infty }$ gilt. Dabei bezeichnet $|\cdot |$ die Mächtigkeit einer Menge. Äquivalent dazu: $M$ ist entweder endlich oder ordnungsisomorph zu den natürlichen Zahlen.

Beispiele

• Jede endliche Menge ist linksendlich.
• die Menge der natürlichen Zahlen ist linksendlich, obwohl sie unendlich viele Elemente enthält.

Gegenbeispiele

• Die Menge der ganzen Zahlen ist nicht linksendlich.

Eigenschaften

• Die Elemente einer linksendlichen Menge können bezüglich ihrer Ordnungsrelation aufsteigend angeordnet werden.
• Jede nicht-leere linksendliche Menge $M$ (d. h. $M$ ist linksendlich und $M\ne \mathrm{\varnothing }$) hat ein Minimum.
• Die Vereinigungsmenge und die Schnittmenge von zwei linksendlichen Mengen sind wieder linksendliche Mengen.
• Eine Teilmenge einer linksendlichen Menge ist auch linksendlich.
• Sind $M$ und $N$ zwei linksendliche Mengen, so ist die Menge $M+N:=\{m+n|m\in M,n\in N\}$ auch linksendlich.

Quellen

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