Pierpont-Primzahl

Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form $2^u{3}^v+1$. Mit Hilfe der Pierpont-Primzahlen lässt sich angeben, welche regelmäßigen Polygone mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden können. Sie sind nach dem US-amerikanischen Mathematiker James Pierpont benannt.

Definition

Eine Primzahl $p$ heißt Pierpont-Primzahl, wenn sie von der Form

$p=2^u{3}^v+1$

ist, wobei $u,v\in {\mathbb{N}}_0$ natürliche Zahlen sind. Die Pierpont-Primzahlen sind damit diejenigen Primzahlen $p$, für die $p-1$ 3-glatt ist.

Beispiele

Die ersten Pierpont-Primzahlen sind:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, …   (Vorlage:OEIS)

Die derzeit größte bekannte Pierpont-Primzahl ist

$3\cdot 2^{10.829.346}+1$

mit 3.259.959 Dezimalstellen. Ihre Primalität wurde 2014 von Sai Yik Tang bewiesen.

Eigenschaften

Spezialfälle

• Für $u=0$ und $v>0$ gibt es keine Pierpont-Primzahlen, denn $3^v+1$ ist eine gerade Zahl größer als zwei und damit zusammengesetzt.
• Für $u>0$ und $v=0$ muss $u$ eine Potenz von zwei sein und eine Pierpont-Primzahl ist damit eine fermatsche Primzahl.
• Für $u>0$ und $v>0$ hat eine Pierpont-Primzahl die Form $6k+1$.

Verteilung

Verteilung der Exponenten der kleinen Pierpont-Primzahlen

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als $10,100,1000,\dots$ ist

$4,10,18,25,32,42,50,58,65,72,78,83,93,106,114,125,139,\dots$   (Vorlage:OEIS).

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als $10^1,10^2,10^4,10^8,\dots$ ist

$4,10,25,58,125,250,505,1020,2075,4227,8597,17213\dots$   (Vorlage:OEIS).

Andrew Gleason vermutete, dass es unendlich viele Pierpont-Primzahlen gibt. Sie sind nicht besonders selten und haben wenige Einschränkungen bezüglich algebraischer Faktorisierungen. So gibt es beispielsweise keine Bedingungen, wie bei Mersenne-Primzahlen, dass der Exponent prim sein muss. Vermutlich gibt es

$O(\log N)$

Pierpont-Primzahlen kleiner als $N$, im Gegensatz zu $O(\log \log N)$ Mersenne-Primzahlen im gleichen Bereich.

Faktoren von Fermat-Zahlen

Als Teil der laufenden weltweiten Suche nach Faktoren der Fermat-Zahlen, wurden bereits einige Pierpont-Primzahlen als Faktoren gefunden. Die folgende Tabelle gibt Werte für $m$, $k$ und $n$ an, sodass gilt:

$k\cdot 2^n+1\text{ teilt }{2}^{2^m}+1$.

Die linke Seite ist eine Pierpont-Primzahl, falls $k$ eine Potenz von drei ist; die rechte Seite ist eine Fermat-Zahl.

$m$	$k$	$n$	Jahr	Entdecker
38	3	41	1903	Cullen, Cunningham & Western
63	9	67	1956	Robinson
207	3	209	1956	Robinson
452	27	455	1956	Robinson
9428	9	9431	1983	Keller
12185	81	12189	1993	Dubner
28281	81	28285	1996	Taura
157167	3	157169	1995	Young
213319	3	213321	1996	Young
303088	3	303093	1998	Young
382447	3	382449	1999	Cosgrave & Gallot
461076	9	461081	2003	Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495728	243	495732	2007	Keiser, Jobling, Penné & others
672005	27	672007	2005	Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351	3	2145353	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782	3	2478785	2003	Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543548	9	2543551	2011	Brown, Reynolds, Penné & Fougeron

Anwendungen

Ein regelmäßiges Polygon mit $N$ Seiten kann genau dann mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden, wenn $N$ von der Form

$N=2^m{3}^n{p}_1\cdots p_k$

ist, wobei $p_1,\dots ,p_k$ mit $k\in {\mathbb{N}}_0$ verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind. Die konstruierbaren Polygone, also die Polygone, die nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, sind hiervon Spezialfälle, bei denen $n=0$ und $p_1,\dots ,p_k$ verschiedene Fermat-Primzahlen sind. Die kleinste Primzahl, die keine Pierpont-Primzahl ist, ist $11$. Daher ist das Elfeck das kleinste regelmäßige Polygon, das nicht mit Zirkel, Lineal und Winkeldrittelung konstruiert werden kann. Alle anderen regelmäßigen $n$-Ecke mit $3\le n\le 21$ können mit Zirkel, Lineal und (gegebenenfalls) einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden.

In der Mathematik des Papierfaltens definieren die Huzita-Axiome sechs der sieben möglichen Faltungen. Diese Faltungen reichen ebenfalls aus, jedes regelmäßige Polygon mit $N$ Seiten zu bilden, wenn $N$ von der obigen Form ist.

Verallgemeinerung

Eine Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form $2^u\cdot 3^v-1$. Die ersten Zahlen dieser Art sind:

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747,… (Vorlage:OEIS)

Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form $p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot p_3^{n_3}\cdot \dots \cdot p_k^{n_k}+1$ mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen $p_1,p_2,\dots ,p_k$.

Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form $p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot p_3^{n_3}\cdot \dots \cdot p_k^{n_k}-1$ mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen $p_1,p_2,\dots ,p_k$.

In beiden Fällen muss $p_1=2$ sein. Alle weiteren $p_i$ sind ungerade Primzahlen.

Diese vorherige Aussage resultiert aus der folgenden Überlegung: Wäre p₁ nicht 2, so wäre das Produkt $p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdot p_3^{n_3}\cdot \dots \cdot p_k^{n_k}$ aus ungeraden Primzahlpotenzen wieder ungerade. Wenn man dann noch 1 addiert oder subtrahiert, wäre die so erhaltene Zahl auf jeden Fall gerade und somit nicht prim.

Es folgen ein paar verallgemeinerte Pierpont-Primzahlen:

{p1, p2, p3, …, pk}	+1	OEIS-Folge	-1	OEIS-Folge
{2}	2, 3, 5, 17, 257, 65537	(Vorlage:OEIS)	3, 7, 31, 127, 8191, 131071, …	(Vorlage:OEIS)
{2, 3}	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, …	(Vorlage:OEIS)	2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, …	(Vorlage:OEIS)
{2, 5}	2, 3, 5, 11, 17, 41, 101, …	(Vorlage:OEIS)	3, 7, 19, 31, 79, 127, 199, …	(Vorlage:OEIS)
{2, 3, 5}	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 41, …	(Vorlage:OEIS)
{2, 7}	2, 3, 5, 17, 29, 113, 197, …	(Vorlage:OEIS)	3, 7, 13, 31, 97, 127, 223, …	(Vorlage:OEIS)
{2, 3, 5, 7}	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 37, …	(Vorlage:OEIS)
{2, 11}	2, 3, 5, 17, 23, 89, 257, 353, …	(Vorlage:OEIS)	3, 7, 31, 43, 127, 241, 967, …	(Vorlage:OEIS)
{2, 13}	2, 3, 5, 17, 53, 257, 677, …	(Vorlage:OEIS)	3, 7, 31, 103, 127, 337, …	(Vorlage:OEIS)

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Vorlage:Internetquelle