Willmore-Energie

Die Willmore-Energie ist in der Differentialgeometrie eine Größe, die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Flächen misst. Sie ist nach Thomas Willmore benannt.

Definition

Für eine glatte, eingebettete, kompakte, orientierte Fläche $\mathrm{\Sigma }\subset {ℝ}^3$ mit mittlerer Krümmung $H:\mathrm{\Sigma }\to ℝ$ definiert man die Willmore-Energie

$W(\mathrm{\Sigma })=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }{H}^{2}dA$.

Motivation

Minimalflächen im ${ℝ}^3$ sind per Definition Flächen, deren mittlere Krümmung verschwindet: $H\equiv 0$.

Aus dem Maximumprinzip folgt, dass es im ${ℝ}^3$ keine kompakten Minimalflächen ohne Rand gibt. Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flächen, welche die Willmore-Energie minimieren.

Variante

Gelegentlich wird die Willmore-Energie auch durch

$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }(H^2-K)dA$

mit der Gauß-Krümmung $K:\mathrm{\Sigma }\to ℝ$ definiert.

Weil nach dem Satz von Gauß-Bonnet

$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }KdA=2\pi \chi (\mathrm{\Sigma })=4\pi (1-g)$

gilt, unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine (von der Topologie der Fläche $\mathrm{\Sigma }$ abhängende) Konstante.

Sphären

Eine runde Sphäre von beliebigem Radius $r$ hat Willmore-Energie $W(S^2(r))=4\pi$. Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (zusammen mit dem Satz von Gauss-Bonnet) zeigt, dass für jede andere Sphäre die Willmore-Energie größer als $4\pi$ ist.

Tori

Clifford-Tori haben Willmore-Energie $W(T)=2{\pi }^2$.

Thomas Willmore vermutete 1965, dass für jede Fläche vom Geschlecht $\ge 1$ die Ungleichung

$W(\mathrm{\Sigma })\ge 2{\pi }^2$

gilt. Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Codá Marques und André Neves angekündigt. Martin Schmidt hat schon 2002 in einen Beweis der Willmore-Vermutung dargestellt, dessen Vollständigkeit allerdings in der Fachwelt umstritten ist.

Immersionen

Die Willmore-Energie kann auch für Immersionen $f:\mathrm{\Sigma }\to {ℝ}^3$ definiert werden. Li und Yau haben bewiesen, dass für jede nicht-eingebettete immersierte Fläche die Willmore-Energie mindestens $8\pi$ ist. Insbesondere wird das Minimum der Willmore-Energie unter immersierten Sphären und Tori tatsächlich durch eingebettete Flächen realisiert.

Für immersierte projektive Ebenen ist die Willmore-Energie mindestens $16\pi$, das Minimum wird durch die Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche realisiert.

Weblinks

• Yann Bernard: Autour des surfaces de Willmore