Hillsche Differentialgleichung

Vorlage:Dieser Artikel Die Hillsche Differentialgleichung ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung der Form

$y^{″}(x)+q(x)y(x)=0$

wobei $q(x)$ eine periodische Funktion ist. Sie ist nach George William Hill benannt und insbesondere für Probleme aus der Schwingungslehre von Bedeutung.

Sie hat für praktisch interessierende Fälle Lösungen der Form

$y(x)=C_1{e}^{{\mu }_{1}x}{y}_1(x)+C_2{e}^{{\mu }_{2}x}{y}_2(x)$

mit ${\mu }_1$ und ${\mu }_2$ als so genannte charakteristische Exponenten.

Spezialfälle

Für die Parameterfunktion

$q(x)=q_o+\mathrm{\Delta }q\cdot \cos (x)$

geht die Hillsche Differentialgleichung in eine Mathieusche Differentialgleichung über.

Für die Parameterfunktion

$q(x)=q_o+\mathrm{\Delta }q\cdot \mathrm{sgn}(\cos (x))$

geht die Hillsche Differentialgleichung in eine Meißnersche Differentialgleichung über.

Siehe auch

• Parametrischer Oszillator
• Sturm-Liouville-Problem