Z2 (Gruppe)

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 (${\mathbb{Z}}_2$ oder $C_2$) ist die kleinste nichttriviale Gruppe in der Gruppentheorie und damit die kleinste endliche einfache Gruppe. Sie ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $S_2$, zur ersten Diedergruppe $D_1$ und zur orthogonalen Gruppe $O(1)$ im Eindimensionalen.

Eigenschaften

Da die Gruppe abelsch ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als neutralem Element und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als Faktorgruppe ${\mathbb{Z}}_2$ der additiven Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ nahegelegt. Die Verknüpfungstafel dieser Gruppe lautet:

$+$	0	1
0	0	1
1	1	0

Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als XOR-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe $\{1,2\}$ der invertierbaren Elemente des endlichen Körpers ${\mathbb{Z}}_3=\{0,1,2\}$ isomorph zu ${\mathbb{Z}}_2$ ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

$\cdot$	1	2
1	1	2
2	2	1

Eine weitere Realisierung erhält man als Einheitengruppe des Ringes $\mathbb{Z}$. Diese ist $\{-1,1\}\subset \mathbb{Z}$ und man erhält die Verknüpfungstafel

$\cdot$	1	−1
1	1	−1
−1	−1	1

Die zyklische Gruppe vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

ℤ₂ als Untergruppe

• Das direkte Produkt der zyklischen Gruppe vom Grad 2 mit sich selbst ergibt die Kleinsche Vierergruppe: ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2=V_4$.
• Das direkte Produkt abzählbar vieler dieser Gruppen ergibt die Cantorgruppe.
• Die symmetrische Gruppe $S_3$ enthält drei zur Gruppe ${\mathbb{Z}}_2$ isomorphe echte Untergruppen.

Darstellungen

Jede nichttriviale Darstellung der ${\mathbb{Z}}_2$ bildet das nichttriviale Element auf eine Involution ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der ${\mathbb{Z}}_2$.

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine Spiegelung, die Darstellungen der ${\mathbb{Z}}_2$ entsprechen also den Spiegelungen an Untervektorräumen beliebiger Dimension.

ℤ₂ als Körper

Die Gruppe ${\mathbb{Z}}_2=\{0,1\}$ mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines Körpers. Die dazu nötige Multiplikation auf ${\mathbb{Z}}_2$ ist durch die Verknüpfungstafel

$\cdot$	0	1
0	0	0
1	0	1

gegeben. Die beiden Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ zusammen machen ${\mathbb{Z}}_2$ zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort field für Körper gerne mit $F_2$ oder ${𝔽}_2$ bezeichnet.

Es ist zu beachten, dass ${\mathbb{Z}}_2$ zusammen mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet, da es für 0 kein inverses Element gibt.

Siehe auch

• Liste kleiner Gruppen

Weblinks

• Gruppen kleiner Ordnung, Archivlink abgerufen am 18. Februar 2025