Komonade

Eine Komonade ist in der Kategorientheorie eine Struktur dual zu der der Monade.

Definition

Eine Komonade ist ein Tripel $(T,\epsilon ,\psi )$ bestehend aus

• einem Endofunktor $T:C\to C$,
• einer natürlichen Transformation $\epsilon :T\to 1_C$ und
• einer natürlichen Transformation $\psi :T\to T^2$,

das folgende Bedingungen erfüllt:

• $T\psi \circ \psi =\psi T\circ \psi$ und
• $\epsilon T\circ \psi =T\epsilon \circ \psi =1_T$.

Explizit auf der Ebene von Morphismen von $C$ bedeutet dies, dass für jedes Objekt $X$ aus $C$ gilt

• $T({\psi }_X)\circ {\psi }_X={\psi }_{T(X)}\circ {\psi }_X$ und
• ${\epsilon }_{T(X)}\circ {\psi }_X=T({\epsilon }_X)\circ {\psi }_X=1_{T(X)}$.

Koalgebren

Eine Koalgebra für eine Komonade $(T,\epsilon ,\psi )$ auf einer Kategorie $C$ ist ein Paar $(X,\alpha )$ bestehend aus einem Objekt $X$ von $C$ und einem Morphismus $\alpha :X\to TX$, so dass $T\alpha \circ \alpha ={\psi }_X\circ \alpha$ und ${\epsilon }_X\circ \alpha =1_X$. Ein Homomorphismus von Koalgebren $(X,\alpha )\to (Y,\beta )$ ist ein Morphismus $f:X\to Y$ in $C$, der $Tf\circ \alpha =\beta \circ f$ erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie $C^T$.

Es gibt einen kanonischen Funktor $A_T:C\to C^T$, der auf Objekten $X\mapsto (TX,{\psi }_X)$ ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor $U_T:C^T\to C$.

Komonade zu einem adjungierten Funktorpaar

Es seien $C,D$ Kategorien und $F:C\to D$, $G:D\to C$ Funktoren, so dass $F$ rechtsadjungiert zu $G$ ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien $\eta :1\to FG$ bzw. $\epsilon :GF\to 1$. Dann ist $T=(GF,\epsilon ,G\eta F)$ eine Komonade auf $C$.

Man erhält einen induzierten Funktor $A:D\to C^T$, so dass $U_T\circ A=G$ und $A\circ F=A_T$ gilt. Der Funktor $G$ heißt komonadisch, wenn $A$ eine Äquivalenz von Kategorien ist. Der Monadizitätssatz von Jonathan Mock Beck gibt Kriterien dafür an, wann ein Funktor komonadisch ist.

Ist $T$ eine Komonade auf einer Kategorie $C$, dann ist die zum adjungierten Funktorpaar $(U_T:C^T\to C,A_T:C\to C^T)$ assoziierte Komonade wieder $T$.

Beispiel

In der Kategorie Set sei der Endofunktor $T$ derjenige der Bildung von $\mathbb{N}$-indizierten Folgen, d. h. für jede Menge $X$ ist $T(X)=X^{\mathbb{N}}$, und für Mengen $A$ und $B$ sowie Abbildungen $f:A\to B$ ist $T(f):A^{\mathbb{N}}\to B^{\mathbb{N}}$ gegeben durch $T(f)(s):=f\circ s$.

Die natürlichen Transformationen $\epsilon$ und $\psi$ seien durch die Familien von Abbildungen ${\epsilon }_X$ und ${\psi }_X$,

• ${\epsilon }_X:X^{\mathbb{N}}\to X,{\epsilon }_X(s):=s(0)$
• ${\psi }_X:X^{\mathbb{N}}\to (X^{\mathbb{N}}{)}^{\mathbb{N}},{\psi }_X(s)(n)(m):=s(n+m)$

für beliebige Mengen $X$ gegeben.

Das Tripel $(T,\epsilon ,\psi )$ ist nun eine Komonade in Set.

Die Koalgebren für $(T,\epsilon ,\psi )$ sind die Abbildungen $\alpha :X\to X^{\mathbb{N}}$, die $\alpha (x)(0)=x$ und $\alpha (x)(n+m)=\alpha (\alpha (x)(n))(m)$ erfüllen. Mit ${\alpha }_1:X\to X$, $x\mapsto \alpha (x)(1)$ ist $\alpha (x)(n)={\alpha }_1^n(x)$, und man kann die Koalgebren mit Paaren $(X,{\alpha }_1)$ mit einer beliebigen Abbildung ${\alpha }_1:X\to X$ identifizieren.

Ist $M$ eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf $T(X)=X^M$ bijektiv den Monoidstrukturen auf $M$. Die Multiplikation auf $M$ ist ${\psi }_M(1_M)\in (M^M{)}^M$. Für ein Monoid $M$ kann die Strukturabbildung $X\to X^M$ einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz $(A^B{)}^C=A^{B\times C}=(A^C{)}^B$ mit anderen Abbildungen identifiziert werden:

• einer Abbildung $X\times M\to X$, die eine Algebra für die Monade $T^{*}(X)=X\times M$ ist
• einem Monoidhomomorphismus $M\to X^X$, d. h. einer Operation von $M$ auf $X$.

Literatur

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