Gauß-Abbildung

In der Differentialgeometrie bildet die Gauß-Abbildung (benannt nach Carl F. Gauß) eine Fläche im euklidischen Raum ${ℝ}^3$ auf die Einheitssphäre $S^2$ ab.

Gauß schrieb erstmals im Jahr 1825 über das Thema und veröffentlichte es 1827.

Definition

Die Gauß-Abbildung verschiebt die Einheitsnormalen eines Flächenstücks an den festen Ursprung des umgebenden Raums.

Auf einer gegebenen orientierten Fläche $X\subset {ℝ}^3$ ist die Gauß-Abbildung eine stetige Abbildung $N:X\to S^2$, so dass $N(p)$ ein zur Fläche $X$ orthonormaler Einheitsvektor bei $p\in X$, nämlich der Normalenvektor an $X$ bei $p$, ist.

Eigenschaften

Die Gauß-Abbildung kann global, also für alle $p\in X$, nur genau dann definiert werden, wenn die Fläche orientierbar ist. Lokal, das heißt auf einem kleinen Stück der Oberfläche, kann sie immer definiert werden. Die Funktionaldeterminante der Gauß-Abbildung ist gleich der Gauß-Krümmung, und das Differential der Gauß-Abbildung wird Weingartenabbildung oder auch Form-Operator genannt.

Verallgemeinerung

Analog zu obiger Definition kann die Gauß-Abbildung für n-dimensionale orientierte Hyperflächen im ${ℝ}^{n+1}$ definiert werden.

Weblinks

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Quellen

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8, S. 129.