Clausen-Funktion

Graph der Clausen-Funktion ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_2(\theta )$ (rot) und ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_4(\theta )$ (grün)

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion (nach Thomas Clausen) durch das folgende Integral definiert:

${\mathrm{Cl}}_2(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\log |2\sin (t/2)|\mathrm{d}t.$

Allgemeine Definition

Allgemeiner definiert man für komplexe $s$ mit $\mathrm{Re}(s)>1$:

${\mathrm{Cl}}_s(\theta )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (n\theta )}{n^s}=\sin (\theta )+\frac{\sin (2\theta )}{2^s}+\frac{\sin (3\theta )}{3^s}+\frac{\sin (4\theta )}{4^s}+\cdots$

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Verallgemeinerte Definition

Beispiele von Glaisher-Clausen-Funktionen im Intervall $[0,2\cdot \pi ]$.

Beispiele von Standard-Clausen-Funktionen im Intervall $[0,2\cdot \pi ]$.

Eine verallgemeinerte Definition der Clausen-Funktionen für lautet:

$\mathrm{C}{\mathrm{l}}_{\mathrm{z}}\left(\theta \right)=\{\begin{array}{c}{\mathrm{S}}_{\mathrm{z}}\left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (k\cdot \theta )}{k^z}\\ {\mathrm{C}}_{\mathrm{z}}\left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (k\cdot \theta )}{k^z}\end{array}$

Clausen-Funktionen der Form ${\mathrm{S}}_{\mathrm{z}}\left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (k\cdot \theta )}{k^z}$ sind Glaisher-Clausen-Funktionen (nach James Whitbread Lee Glaisher) und ${\mathrm{C}}_{\mathrm{z}}\left(\theta \right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (k\cdot \theta )}{k^z}$ sind Standard-Clausen-Funktionen.

Beziehung zum Polylogarithmus

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

${\mathrm{Cl}}_s(\theta )=\mathrm{Im}({\mathrm{Li}}_s(e^{i\theta }))$.

Kummers Beziehung

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für $0\le \theta \le 2\pi$ gültige Beziehung an:

${\mathrm{Li}}_2(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i{\mathrm{Cl}}_2(\theta )$

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen

Für rationale Werte von $\theta /\pi$ kann die Funktion $\sin (n\theta )$ als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann ${\mathrm{Cl}}_s(\theta )$ als einfache Summe aufgefasst werden, welche die hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten dirichletschen L-Funktionen einfach zu berechnen.

Die Clausen-Funktion als eine Regularisierungs-Methode

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

$\sin (\theta )+2\sin (2\theta )+3\sin (3\theta )+\dots$

was mit ${\mathrm{Cl}}_{-1}(\theta )$ bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

$\cos (\theta )+\cos (2\theta )+\cos (3\theta )+\dots =-\int d\theta {\mathrm{Cl}}_{-1}(\theta )$

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen $s$ verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für $|\theta |<2\pi$) ist

$\frac{{\mathrm{Cl}}_2(\theta )}{\theta }=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)}{n(2n+1)}{\left(\frac{\theta }{2\pi }\right)}^{2n}\text{.}$

$\zeta (s)$ ist dabei die riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

$\frac{{\mathrm{Cl}}_2(\theta )}{\theta }=3-\log [|\theta |(1-\frac{{\theta }^2}{4{\pi }^2})]-\frac{2\pi }{\theta }\log \left(\frac{2\pi +\theta }{2\pi -\theta }\right)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}{\left(\frac{\theta }{2\pi }\right)}^{2n}\text{.}$

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass $\zeta (n)-1$ für große $n$ schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte

Allgemeine Spezielle Fälle

Einige Spezialfälle sind gegeben durch:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{S}}_{\mathrm{1}}\left(\theta \right)& =\frac{1}{2}\cdot \pi -\frac{1}{2}\cdot \theta \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{3}}\left(\theta \right)& =\frac{1}{6}\cdot {\pi }^2\cdot \theta -\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot {\theta }^2+\frac{1}{12}\cdot {\theta }^3\\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{5}}\left(\theta \right)& =\frac{1}{90}\cdot {\pi }^4\cdot \theta -\frac{1}{36}\cdot {\pi }^2\cdot {\theta }^3+\frac{1}{48}\cdot \pi \cdot {\theta }^4-\frac{1}{240}\cdot {\theta }^5\\ {\mathrm{C}}_{\mathrm{2}}\left(\theta \right)& =\frac{1}{6}\cdot {\pi }^2\cdot \theta -\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot \theta +\frac{1}{4}\cdot {\theta }^2\\ {\mathrm{C}}_{\mathrm{4}}\left(\theta \right)& =\frac{1}{90}\cdot {\pi }^4\cdot \theta -\frac{1}{12}\cdot {\pi }^2\cdot {\theta }^2+\frac{1}{12}\cdot \pi \cdot {\theta }^3-\frac{1}{48}\cdot {\theta }^4\\ \end{array}$

(für $0\le \theta \le 2\cdot \pi$)

Weitere Spezialfälle sind:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\left(\theta \right)& =\frac{i}{2}\cdot [\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}(\exp (-\theta \cdot i))-\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}(\exp (\theta \cdot i))]\\ {\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}\left(\theta \right)& =\frac{1}{2}\cdot [\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}(\exp (-\theta \cdot i))+\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}(\exp (\theta \cdot i))]\\ \end{array}$

wobei $\mathrm{L}{\mathrm{i}}_{\mathrm{n}}$ der Polylogarithmus ist,

$\mathrm{T}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}(\tan \left(\theta \right))=\theta \cdot \log (\tan \left(\theta \right))+\frac{1}{2}\cdot \mathrm{C}{\mathrm{l}}_{\mathrm{2}}(2\cdot \theta )+\frac{1}{2}\cdot \mathrm{C}{\mathrm{l}}_{\mathrm{2}}(\pi -2\cdot \theta )$

für $0\le \tan \left(\theta \right)\le 1$ wobei $\mathrm{T}{\mathrm{i}}_{\mathrm{2}}$ das Arkustangensintegral ist,

${\mathrm{Cl}}_2(2\pi z)=2\pi \log \left(\frac{G(1-z)}{G(1+z)}\right)+2\pi z\log \left(\frac{\pi }{\sin \pi z}\right)$

${\mathrm{Cl}}_2(2\pi z)=2\pi \log \left(\frac{G(1-z)}{G(z)}\right)-2\pi \log \mathrm{\Gamma }(z)+2\pi z\log \left(\frac{\pi }{\sin \pi z}\right)$

wobei $G$ Barnessche G-Funktion und $\mathrm{\Gamma }$ die Gammafunktion ist,

${\mathrm{Cl}}_2(\theta )=ℒs_2^0(\theta )$,

wobei $ℒs_2^0$ der verallgemeinerte Logsinus $ℒs_n^m(\theta )=-\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}{x}^m{\log }^{n-m-1}|2\sin \frac{x}{2}|dx$ ist

${\mathrm{Cl}}_s\left(\frac{\pi }{2}\right)=\beta (s)$

wobei $\beta (s)$ die dirichletsche Beta-Funktion ist.

Spezifische Fälle

Einige spezielle Werte sind:

${\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{\pi }{2}\right)=K$,

${\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{\pi }{3}\right)=3\pi \log \left(\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{G\left(\frac{1}{3}\right)}\right)-3\pi \log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)+\pi \log \left(\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\right)$,

${\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{2\pi }{3}\right)=2\pi \log \left(\frac{G\left(\frac{2}{3}\right)}{G\left(\frac{1}{3}\right)}\right)-2\pi \log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{2\pi }{3}\log \left(\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\right)$,

${\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\pi \log \left(\frac{G\left(\frac{7}{8}\right)}{G\left(\frac{1}{8}\right)}\right)-2\pi \log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{\pi }{4}\log \left(\frac{2\pi }{\sqrt{2-\sqrt{2}}}\right)$,

${\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{3\pi }{4}\right)=2\pi \log \left(\frac{G\left(\frac{5}{8}\right)}{G\left(\frac{3}{8}\right)}\right)-2\pi \log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{8}\right)+\frac{3\pi }{4}\log \left(\frac{2\pi }{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\right)$,

${\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{\pi }{6}\right)=2\pi \log \left(\frac{G\left(\frac{11}{12}\right)}{G\left(\frac{1}{12}\right)}\right)-2\pi \log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{12}\right)+\frac{\pi }{6}\log \left(\frac{2\pi \sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}\right)$ und

${\mathrm{Cl}}_2\left(\frac{5\pi }{6}\right)=2\pi \log \left(\frac{G\left(\frac{7}{12}\right)}{G\left(\frac{5}{12}\right)}\right)-2\pi \log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{12}\right)+\frac{5\pi }{6}\log \left(\frac{2\pi \sqrt{2}}{\sqrt{3}+1}\right)$

wobei K die catalansche Konstante ist.

Literatur

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