Weierstraßsches Majorantenkriterium

Das Weierstraßsche Majorantenkriterium (auch: Weierstraßscher M-Test) ist ein Kriterium zum Nachweis gleichmäßiger und absoluter Konvergenz einer Funktionenreihe. Als Spezialfall enthält es das Majorantenkriterium für Reihen. Es wurde nach dem Mathematiker Karl Weierstraß benannt.

Aussage

Sei $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge reell- oder komplexwertiger Funktionen auf der Menge $A$. Seien $M_n$ reelle Konstanten, so dass

$|f_n(x)|\le M_n$

für alle $n\ge 1$ und alle $x$ in $A$ gilt. Weiterhin konvergiere die Reihe ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$.

Dann gilt: Die Reihe

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$

konvergiert absolut und gleichmäßig auf $A$.

Beispiel

Sei $0<\alpha <1$ eine reelle Zahl, dann ist die Weierstraß-Funktion

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n\alpha }{e}^{i{2}^{n}x}$

überall stetig, aber nirgends differenzierbar. Die Stetigkeit dieser Funktion kann durch den Weierstraßschen M-Test nachgewiesen werden. Es gilt nämlich

$\left|2^{-n\alpha }{e}^{i{2}^{n}x}\right|=2^{-n\alpha }$

sowie

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2^{\alpha }}\right)}^n=\frac{1}{1-2^{-\alpha }}<\mathrm{\infty }$

nach der Formel für die geometrische Reihe. Daher konvergiert die Reihe $f(x)$ gleichmäßig nach dem Weierstraßschen M-Test. Die einzelnen Partialsummen bilden nun eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Damit ist $f$ als ein solcher Grenzwert stetig.

Literatur

• Herbert Amann und Joachim Escher, Analysis 1, Birkhäuser, Basel, 2002. (siehe Satz V.1.6)