Weingartenabbildung

Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum ( $ℝ^{3}$ ), einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie.

Vorbereitung

Eine reguläre Fläche sei durch die Parameterdarstellung

\begin{matrix} X : ℝ^{2} \supset A & \to ℝ^{3} \\ (u, v) & \mapsto X (u, v) \end{matrix}

gegeben. Dabei sei $X$ mindestens zweimal stetig differenzierbar und in jedem Punkt $(u, v)$ habe die Ableitung $D X_{(u, v)}$ , eine lineare Abbildung von $ℝ^{2}$ nach $ℝ^{3}$ , vollen Rang. Das Bild dieser linearen Abbildung ist dann ein zweidimensionaler Unterraum des $ℝ^{3}$ , der Tangentialraum der Fläche im Punkt $p = X (u, v)$ . Dabei denkt man sich die Bildvektoren im Punkt $p = X (u, v)$ angeheftet. Der Tangentialraum wird von den beiden Vektoren

X_{1} (u, v) = X_{u} (u, v) = \frac{\partial X}{\partial u} (u, v) = D X_{(u, v)} (e_{1})

und

X_{2} (u, v) = X_{v} (u, v) = \frac{\partial X}{\partial v} (u, v) = D X_{(u, v)} (e_{2})

aufgespannt. (Hierbei bezeichnen $e_{1}$ und $e_{2}$ die Einheitsvektoren der Standardbasis des $ℝ^{2}$ .)

Die Einheitsnormale $N (u, v)$ im Punkt $p = X (u, v)$ der Fläche kann mit Hilfe des Vektorprodukts berechnet werden:

N (u, v) = \frac{X_{u} (u, v) \times X_{v} (u, v)}{| X_{u} (u, v) \times X_{v} (u, v) |}

Somit ist $N$ eine differenzierbare Abbildung vom Parameterbereich $A \subset ℝ^{2}$ in den Vektorraum $ℝ^{3}$ . Den Bildvektor $N (u, v)$ denkt man sich angeheftet an den Punkt $p = X (u, v)$ . Die Ableitung $D N_{(u, v)}$ im Punkt $(u, v)$ ist eine lineare Abbildung von $ℝ^{2}$ nach $ℝ^{3}$ . Aus der Bedingung, dass $N (u, v)$ ein Einheitsvektor ist, folgt, dass für jedes Parameterpaar $(u, v)$ das Bild der Abbildung $D N_{(u, v)}$ im Tangentialraum der Fläche im Punkt $p = X (u, v)$ liegt und somit im Bild der Abbildung $D X_{(u, v)}$ . Da $D X_{(u, v)}$ injektiv ist, existiert die Umkehrabbildung $(D X_{(u, v)})^{- 1}$ als Abbildung auf dem Tangentialraum im Punkt $X (u, v)$ .

Definition

Man kann nun die Weingartenabbildung als lineare Abbildung im Parameterbereich (klassische Sichtweise) oder auf dem Tangentialraum (moderne Sichtweise) definieren.

Im Parameterbereich

Die Abbildung $D N_{(u, v)}$ bildet den $ℝ^{2}$ auf den Tangentialraum der Fläche im Punkt $X (u, v)$ ab. Die Abbildung $(D X_{(u, v)})^{- 1}$ bildet diesen Tangentialraum wieder auf den $ℝ^{2}$ ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

L_{(u, v)} = - (D X_{(u, v)})^{- 1} \circ D N_{(u, v)}

von $ℝ^{2}$ nach $ℝ^{2}$ heißt Weingartenabbildung an der Stelle $(u, v)$ .

Auf der Fläche

Die Abbildung $(D X_{(u, v)})^{- 1}$ bildet einen Vektor des Tangentialraums der Fläche im Punkt $p = X (u, v)$ in den $ℝ^{2}$ ab. Die Abbildung $D N_{(u, v)}$ bildet den Bildvektor wieder in den Tangentialraum ab. Die durch Verkettung und Vorzeichenwechsel daraus entstehende lineare Abbildung

L_{X (u, v)} = - D N_{(u, v)} \circ (D X_{(u, v)})^{- 1}

bildet den Tangentialraum im Punkt $p = X (u, v)$ auf sich ab und heißt Weingartenabbildung am Punkt $p = X (u, v)$ . Es gilt also

L_{X (u, v)} X_{i} (u, v) = - N_{i} (u, v)

für

i = 1, 2

.

Koordinatendarstellung

Die beiden Versionen der Weingartenabbildung sind auf völlig verschiedenen Vektorräumen definiert. Wählt man jedoch im Parameterbereich die Standardbasis und im Tangentialraum die Basis $X_{u} (u, v)$ , $X_{v} (u, v)$ , so stimmen die zugehörigen Abbildungsmatrizen

(\begin{matrix} h^{1}_{1} (u, v) & h^{1}_{2} (u, v) \\ h^{2}_{1} (u, v) & h^{2}_{2} (u, v) \end{matrix})

überein. Sie sind durch die Gleichungen

L_{X (u, v)} (X_{u} (u, v)) = - N_{u} (u, v) = h^{1}_{1} (u, v) X_{u} (u, v) + h^{2}_{1} (u, v) X_{v} (u, v)

L_{X (u, v)} (X_{v} (u, v)) = - N_{v} (u, v) = h^{1}_{2} (u, v) X_{u} (u, v) + h^{2}_{2} (u, v) X_{v} (u, v)

charakterisiert. In Einsteinscher Summenkonvention, mit $X_{1} = X_{u}$ , $X_{2} = X_{v}$ , $N_{1} = N_{u} = D N_{(u, v)} (e_{1})$ , $N_{2} = N_{v} = D N_{(u, v)} (e_{2})$ und unter Weglassung des Arguments:

L (X_{j}) = - N_{j} = h^{i}_{j} X_{i}

Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform

Für jedes Parameterpaar $(u, v)$ ist die erste Fundamentalform $g_{(u, v)}$ ein Skalarprodukt im $ℝ^{2}$ und die zweite Fundamentalform $h_{(u, v)}$ eine symmetrische Bilinearform. Diese sind durch die Weingartenabbildung wie folgt verbunden: Für Vektoren $w_{1}, w_{2} \in ℝ^{2}$ gilt

h (w_{1}, w_{2}) = g (w_{1}, L w_{2})

.

Für die zugehörigen Matrixdarstellungen gilt in Einsteinscher Summenkonvention

h_{i k} = g_{i j} h^{j}_{k}

und

h^{i}_{k} = g^{i j} h_{j k} .

Eigenschaften

Die Weingartenabbildung $L$ ist selbstadjungiert bezüglich der ersten Fundamentalform $g$ , das heißt, für alle $w_{1}, w_{2} \in ℝ^{2}$ gilt
$g (w_{1}, L w_{2}) = g (L w_{1}, w_{2}) .$
In jedem Punkt der Fläche existiert deshalb eine Basis aus Eigenvektoren von $L$ , die orthonormal bezüglich $g$ ist.
Die Richtungen der Eigenvektoren heißen Hauptkrümmungsrichtungen.
Die Eigenwerte der Weingartenabbildung geben die Hauptkrümmungen der Fläche an.
Für einen Vektor $w \in T_{(u, v)} ℝ^{2}$ beschreibt $L w$ die Änderung der Flächennormalen in dieser Richtung an diesem Punkt.
Die Weingartenabbildung ist die Ableitung der Gauß-Abbildung.

Beispiel

Dem Beispiel aus den Artikeln erste Fundamentalform und zweite Fundamentalform folgend, wird wieder die Oberfläche einer Kugel vom Radius $r > 0$ betrachtet. Diese Fläche wird wieder durch

X (u, v) = (\begin{matrix} r \sin u \cos v \\ r \sin u \sin v \\ r \cos u \end{matrix})

parametrisiert.

Die Matrixdarstellung der ersten Fundamentalform besteht aus den Komponenten $g_{u u} = r^{2}$ , $g_{u v} = g_{v u} = 0$ , sowie $g_{v v} = r^{2} \sin^{2} u$ .

Die Matrixdarstellung der zweiten Fundamentalform besteht aus den Komponenten $h_{u u} = - r$ , $h_{u v} = h_{v u} = 0$ , sowie $h_{v v} = - r \sin^{2} u$ .

Beide sind durch die Gleichung $h_{i k} = g_{i j} h^{j}_{k}$ miteinander verbunden. Diese liefert durch Ausschreiben der Einsteinschen Summenkonvention folgende vier Gleichungen:

h_{u u} = g_{u u} h^{u}_{u} + g_{u v} h^{v}_{u}

h_{u v} = g_{u u} h^{u}_{v} + g_{u v} h^{v}_{v}

h_{v u} = g_{v u} h^{u}_{u} + g_{v v} h^{v}_{u}

h_{v v} = g_{v u} h^{u}_{v} + g_{v v} h^{v}_{v}

Durch Einsetzen der Komponenten der Matrixdarstellungen erhält man die Komponenten der Weingartenabbildung:

h^{u}_{u} = h^{v}_{v} = - \frac{1}{r}

h^{u}_{v} = h^{v}_{u} = 0

Alternativ hätte auch die explizite Formel $h^{i}_{k} = g^{i j} h_{j k}$ genutzt werden können. Dazu hätte allerdings die Matrix der ersten Fundamentalform invertiert werden müssen, um die $g^{i j}$ zu erhalten.

Literatur

Vorlage:BibISBN

en:Differential geometry of surfaces#Shape operator

Weingartenabbildung

Inhaltsverzeichnis

Vorbereitung

Definition

Im Parameterbereich

Auf der Fläche

Koordinatendarstellung

Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform

Eigenschaften

Beispiel

Literatur

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Weingartenabbildung

Vorbereitung

Definition

Im Parameterbereich

Auf der Fläche

Koordinatendarstellung

Zusammenhang mit der zweiten Fundamentalform

Eigenschaften

Beispiel

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