Liste stochastischer Prozesse

Nachfolgend finden sich eine Übersicht und kategoriale Einordnung stochastischer Prozesse sowie die stochastischen Differentialgleichungen (SDGL) der Prozesse und deren Lösungen.

Markow-Prozesse

Markow-Prozesse erfüllen die Markow-Eigenschaft. Zu den Markow-Prozessen zählen u. a. die affinen Prozesse und die Itō-Prozesse.

Affine Prozesse

Zu den affinen Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse (also auch der Wiener-Prozess und der Poisson-Prozess), außerdem einige Itō-Prozesse wie z. B. der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und der Wurzel-Diffusionsprozess.

Lévy-Prozesse

Lévy-Prozesse sind Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen. Zu den Lévy-Prozessen zählen u. a. die Poisson-Prozesse.

Gamma-Prozess

Der Gamma-Prozess $\mathrm{\Gamma }(t;\gamma ,\lambda )$ ist ein reiner Sprung-Lévy-Prozess mit Intensitätsmaß $\nu (x)=\gamma x^{-1}\exp (-\lambda x)$

Varianz-Gamma-Prozess

$X(t;\theta ,\sigma ,\nu )=B(\mathrm{\Gamma }(t;1,\nu ),\theta ,\sigma ),t\ge 0.$

Poisson-Prozesse

Zusammengesetzter Poisson-Prozess

$X_t:=\sum _{n=1}^{N_t}{Y}_n$

Inhomogener Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeitabhängig $\lambda (t).$

Räumlicher Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeit- und (Vektor-)raumabhängig $\lambda (t,x).$

Cox-Prozess

Die Intensität ist eine Zufallsvariable.

Itō-Prozesse

Itō-Prozess

$X_t=X_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}u(s,X_s)ds+\underset{0}{\overset{t}{\int }}v(s,X_s)d{W}_s.$

SDGL:

$\mathrm{d}{X}_t=u(t,X_t)dt+v(t,X_t)d{W}_t.$

Verallgemeinerter Wiener-Prozess / verallgemeinerte Brownsche Bewegung

Der verallgemeinerte Wiener-Prozess ist sowohl Gauß- als auch Itō-Prozess.

$X_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)\mathrm{d}s+\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(s)\mathrm{d}{W}_s$

SDGL:

$\mathrm{d}{X}_t=f(t)\mathrm{d}t+g(t)\mathrm{d}{W}_t$

Einfache Form:

$X_t=\mu t+\sigma W_t$

SDGL:

$\mathrm{d}{X}_t=\mu \mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}{W}_t$

Standard-Wiener-Prozess / Standard-Brownsche Bewegung

$X_t=W_t=\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{W}_s$

SDGL:

$\mathrm{d}{X}_t=\mathrm{d}{W}_t$

Weitere Itō-Prozesse

Geometrische Brownsche Bewegung

$X_t=X_0{e}^{(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2})t+\sigma W_t}$

SDGL:

$\mathrm{d}{X}_t=\mu X_t\mathrm{d}t+\sigma X_t\mathrm{d}{W}_t$

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

SDGL:

$d{X}_t=\theta (\mu -X_t)dt+\sigma d{W}_t,X_0=a$

Wurzel-Diffusionsprozess / CIR-Prozess

SDGL:

$d{X}_t=\kappa (\theta -X_t)dt+\sigma \sqrt{X_t}d{W}_t$

Bessel-Prozess

$X_t=\Vert W_t{\Vert }_2,$

SDGL:

$\mathrm{d}{X}_t=\mathrm{d}{W}_t+\frac{n-1}{2}\frac{\mathrm{d}t}{X_t}$

Gauß-Prozesse

$(X_t{)}_{t\in T}$ ist ein Gauß-Prozess, falls für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt: $\mathrm{\forall }{t}_1,t_2\dots t_n\in T$ ist $(X_{t_1},X_{t_2}\dots X_{t_n})$ durch eine n-dimensionale Normalverteilung gegeben.

Zu den Gauß-Prozessen zählen u. a. die Gauß-Itō-Prozesse (z. B. der Wiener-Prozess), der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, die Brownsche Brücke und die fraktionelle Brownsche Bewegung.

Gauß-Markow-Prozesse

Gauß-Markow-Prozesse besitzen sowohl die Markow-Eigenschaft als auch die Eigenschaft von Gauß-Prozessen.

Brownsche Brücke

Die Brownsche Brücke ist ein Gauß-Markow-Prozess, d. h. ein Gauß-Prozess mit der Markow-Eigenschaft.

$B_t:=(W_t|W_T=0),t\in [0,T]$

Feller-Prozesse

Ein Feller-Prozess ist ein Markow-Prozess mit der Feller-Übergangsfunktion, die zu einer Feller-Halbgruppe gehört. Zu den Feller-Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse, der Bessel-Prozess und die Lösungen von SDGL mit Lipschitz-stetigen Koeffizienten.