Konjugiertes Element

Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, wenn sie bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.

Definition

Seien $L/K$ eine Körpererweiterung und $K[x]$ der Polynomring zu $K$ mit der Unbestimmten $x$. Die Elemente $a,b\in L$ seien algebraisch über $K$, das heißt, es existieren $0\ne q(x),p(x)\in K[x]$ mit $p(a)=q(b)=0$.

Dann heißen $a$ und $b$ algebraisch konjugiert über $K$, wenn $a$ und $b$ dasselbe Minimalpolynom über $K$ haben.

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.

Eigenschaften

• $a$ und $b$ sind genau dann konjugiert über dem Körper $K$, wenn für alle $p(x)\in K[x]$ gilt, dass $p(a)=0\iff p(b)=0$.
• Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung mit $L=K(b)$ für ein $b\in L\setminus K$. Dann sind $a,b\in L$ genau dann konjugiert über dem Körper $K$, wenn es ein Element $\phi$ in der Galoisgruppe $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(L/K)$ gibt mit $\phi (a)=b$.

Beispiele

• Die komplexen Zahlen $i$ und $-i$ haben über $ℝ$ beide das Minimalpolynom $x^2+1$ und sind daher algebraisch konjugiert über $ℝ$. Über $ℂ$ haben sie natürlich die Minimalpolynome $x-i$ bzw. $x+i$ und sind nicht konjugiert.
• Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen $a+bi$ und $c+di$ mit $b,d\ne 0$ sind genau dann algebraisch konjugiert über $ℝ$, wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also $a=c,b=-d$ gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall $x^2-2ax+a^2+b^2$.
• Die Goldene Zahl $\mathrm{\Phi }$ und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper $\mathbb{Q}$. Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms $x^2-x-1$.
• Die zu $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: Aus

$x_1^2=5+2\sqrt{6}$, $x_1^3=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}$ und $x_1^4=49+20\sqrt{6}$

ergibt sich das Minimalpolynom

$x^4-10x^2+1={(x^2-5)}^2-24$.

Durch zweifaches Wurzelziehen erhält man, zusammen mit der Beziehung $5\pm 2\sqrt{6}=(\sqrt{2}\pm \sqrt{3}{)}^2$, die weiteren Nullstellen:

$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$,$x_3=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$,$x_4=-\sqrt{2}-\sqrt{3}$.

Literatur

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