Triakistetraeder

Vorlage:Infobox Polyeder Das Triakistetraeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus 12 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Tetraederstumpf und hat 8 Ecken sowie 18 Kanten.

Entstehung

Datei:Triakis tetrahedron wireframe.stl Werden auf alle 4 Begrenzungsflächen eines Tetraeders (mit Kantenlänge $a$ ) Pyramiden mit der Flankenlänge $b$ aufgesetzt, entsteht ein Triakistetraeder, sofern die Bedingung $\frac{a}{3} \sqrt{3} < b < \frac{a}{2} \sqrt{2}$ erfüllt ist.

Für den zuvor genannten minimalen Wert von $b$ haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Tetraeder mit der Kantenlänge $a$ übrig bleibt.
Das spezielle Triakistetraeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn $b = \frac{3}{5} a$ ist.
Nimmt $b$ den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakistetraeder zu einem Würfel mit der Kantenlänge $b$ (siehe Grafik links); dieser vierfach geschnittene Würfel – mit einem gedachten Tetraeder im Kern – ist topologisch gleichwertig zum Triakistetraeder.
Überschreitet $b$ den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem Sternkörper.

$\frac{a}{3} \sqrt{3} < b < \frac{a}{2} \sqrt{2}$

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlängen a, b
Volumen	$V = \frac{a^{2}}{12} (a \sqrt{2} + 4 \sqrt{3 b^{2} - a^{2}})$
Oberflächeninhalt	$A_{O} = 3 a \sqrt{4 b^{2} - a^{2}}$
Pyramidenhöhe	$k = \frac{1}{3} \sqrt{9 b^{2} - 3 a^{2}}$
Inkugelradius	$ρ = \frac{a}{12} \sqrt{\frac{48 b^{2} - 14 a^{2} + 8 a \sqrt{6 b^{2} - 2 a^{2}}}{4 b^{2} - a^{2}}}$
Flächenwinkel (über Kante a)	$\cos α_{1} = \frac{5 a^{2} - 12 b^{2} - 8 a \sqrt{6 b^{2} - 2 a^{2}}}{9 (4 b^{2} - a^{2})}$
Flächenwinkel (über Kante b)	$\cos α_{2} = \frac{2 b^{2} - a^{2}}{4 b^{2} - a^{2}}$

$b = \frac{3}{5} a$

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V = \frac{3}{20} a^{3} \sqrt{2}$
Oberflächeninhalt	$A_{O} = \frac{3}{5} a^{2} \sqrt{11}$
Pyramidenhöhe	$k = \frac{a}{15} \sqrt{6}$
Inkugelradius	$ρ = \frac{3}{4} a \sqrt{\frac{2}{11}}$
Kantenkugelradius	$r = \frac{a}{4} \sqrt{2}$
Flächenwinkel ≈ 129° 31′ 16″	$\cos α = - \frac{7}{11}$
Sphärizität ≈ 0,86439	$Ψ = \frac{\sqrt[3]{60 π}}{2 \sqrt{11}}$