Satz von Church-Rosser

Das Church-Rosser-Theorem (bewiesen im Jahr 1936 von Alonzo Church und John Barkley Rosser) ist ein wichtiges Resultat aus der Theorie des Lambda-Kalküls. Eine Konsequenz dieses Theorems ist, dass jeder Term des Lambda-Kalküls höchstens eine Normalform besitzt. Das Church-Rosser-Theorem lässt Verallgemeinerungen auf abstrakte Reduktionssysteme zu.

Die Aussage des Theorems

Das Church-Rosser-Theorem besagt folgendes: Wenn zwei unterschiedliche Terme a und b äquivalent sind, d. h. mit Reduktionsschritten beliebiger Richtung ineinander transformiert werden können, dann gibt es einen weiteren Term c, zu dem sowohl a als auch b reduziert werden können.

Formale Definitionen

Sei $\to$ die Reduktionsrelation im Lambda-Kalkül; d. h. die Relation, die durch die $\alpha$–,$\beta$– und $\eta$− Konversionen definiert wird. Hierdurch wird der Lambda-Kalkül zu einem Spezialfall eines Reduktionssystems; speziell eines Termersetzungssystems.

$\stackrel{*}{\to }$ ist die transitive Hülle von $\to \cup =$ (der Vereinigung der Relation $\to$ mit der Identitätrelation), d. h. $\stackrel{*}{\to }$ ist die kleinste Quasiordnung (reflexive und transitive Relation), die $\to$ enthält. Sie ist auch die reflexive und transitive Hülle von $\to$.

$\leftrightarrow$ ist $\to \cup {\to }^{-1}$, d. h. die Vereinigung der Relation $\to$ mit ihrer inversen Relation; $\leftrightarrow$ wird auch als symmetrische Hülle von $\to$ bezeichnet. $\stackrel{*}{\leftrightarrow }$ ist die transitive Hülle von $\leftrightarrow$.

Das Church-Rosser-Theorem lässt sich dann wie folgt formulieren:

Theorem (Church-Rosser): Seien $a$ und $b$ zwei Terme im Lambda-Kalkül und $a\stackrel{*}{\leftrightarrow }b$, dann existiert ein Term $c$ mit $a\stackrel{*}{\to }c$ und $b\stackrel{*}{\to }c$.

Church-Rosser-Eigenschaft und Konfluenz

In abstrakten Reduktionssystemen wird die Church-Rosser-Eigenschaft wie folgt definiert:

Definition: Die Reduktionsrelation $\to$ heißt „Church-Rosser“ (oder „besitzt die Church-Rosser-Eigenschaft“), wenn für alle Terme a und b gilt: Aus $a\stackrel{*}{\leftrightarrow }b$, folgt, dass ein Term $c$ existiert mit $a\stackrel{*}{\to }c$ und $b\stackrel{*}{\to }c$.

Von Bedeutung ist auch die folgende Definition der Konfluenz:

Definition (s. Bild rechts zur Illustration): Ein Reduktionssystem heißt konfluent, wenn es zu drei Termen a, b und c mit $a\stackrel{*}{\to }b,a\stackrel{*}{\to }c$ einen Term d gibt mit $b\stackrel{*}{\to }d$ und $c\stackrel{*}{\to }d$.

Satz. In einem abstrakten Reduktionssystem (ARS) sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) Das System hat die Church-Rosser-Eigenschaft, (ii) es ist konfluent.

Folgerung. Wenn in einem konfluenten ARS $x\stackrel{*}{\leftrightarrow }y$ gilt, dann

• wenn x und y Normalformen sind, dann gilt x = y,
• wenn y eine Normalform ist, dann ist $x\stackrel{*}{\to }y$.

Literatur

• Alonzo Church, J. Barkley Rosser: Some properties of conversion. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 39, Nr. 3, Mai 1936, S. 472–482.
• Franz Baader, Tobias Nipkow: Term Rewriting and All That. Cambridge University Press 1999, ISBN 0-521-77920-0, S. 9–11.

Weblinks

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