Holomorpher Funktionalkalkül

Der holomorphe Funktionalkalkül ist eine grundlegende Methode aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Grob gesprochen werden bei diesem Funktionalkalkül Elemente einer $ℂ$-Banachalgebra in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums des Elementes definiert sind, eingesetzt, wodurch das Einsetzen in Polynome verallgemeinert wird.

Konstruktion

Es sei $A$ eine $ℂ$-Banachalgebra mit Einselement $e$. Ist $a\in A$, so ist das Spektrum $\sigma (a)$ nicht-leer (siehe Satz von Gelfand-Mazur). Sei weiter $f:U\to ℂ$ eine in einer offenen Umgebung $U$ von $\sigma (a)$ definierte holomorphe Funktion. Zwar lässt sich $a$ nicht direkt in $f$ einsetzen, aber die cauchysche Integralformel liefert eine Darstellung der Funktionswerte von $f$, bei der eine solche Einsetzung dennoch durchgeführt werden kann.

Datei:Functional calculus illustration2.png

Der rot dargestellte Zyklus schließt das blau dargestellte Spektrum ein.

Es gibt einen Zyklus $\mathrm{\Gamma }={\gamma }_1+\dots +{\gamma }_n$ einfach geschlossener Wege, die ganz in $U$ verlaufen und das Spektrum einschließen. Die cauchysche Integralformel lautet $f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta$ für Punkte $z$ innerhalb von $\mathrm{\Gamma }$, und darin kann man tatsächlich das Banachalgebren-Element einsetzen. Man kann zeigen, dass das Integral

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(\zeta )(\zeta e-a{)}^{-1}d\zeta$

im Sinne der Normtopologie konvergiert. Da $\mathrm{\Gamma }\cap \sigma (a)=\mathrm{\varnothing }$, ist der Ausdruck $(\zeta e-a{)}^{-1}$ im Integranden definiert und $\zeta \mapsto f(\zeta )(\zeta e-a{)}^{-1}$ ist eine stetige Funktion $\mathrm{\Gamma }\to A$. Weiter kann man zeigen, dass dieser Wert nicht von der speziellen Wahl von $\mathrm{\Gamma }$ abhängt. Daher bezeichnet man den Wert dieses Integrals in suggestiver Schreibweise mit $f(a)$.

Für ein Kompaktum $K$ sei $\mathscr{H}(K)$ die Menge der in einer Umgebung von $K$ definierten holomorphen Funktionen. Sind $f$ und $g$ zwei solche Funktionen, so kann man $f+g$ und $f\cdot g$ auf dem Durchschnitt der Definitionsbereiche von $f$ und $g$ erklären. Damit wird $\mathscr{H}(K)$ zu einer $ℂ$-Algebra. Mit obigen Definitionen erhalten wir damit eine Abbildung ${\mathrm{\Phi }}_a:\mathscr{H}(\sigma (a))\to A,f\mapsto f(a)$. Diese Abbildung heißt der holomorphe Funktionalkalkül von a.

Die Forderung, dass $A$ ein Einselement hat, ist keine wesentliche Einschränkung, denn man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und den Funktionalkalkül in der vergrößerten Banachalgebra anwenden.

Eigenschaften

Der holomorphe Funktionalkalkül ${\mathrm{\Phi }}_a$ zu einem Element $a\in A$ hat folgende Eigenschaften.

• ${\mathrm{\Phi }}_a:\mathscr{H}(\sigma (a))\to A$ ist ein Homomorphismus, d. h. es gelten die Formeln $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$, $(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)$.
• Hat $f\in \mathscr{H}(\sigma (a))$ in einer Umgebung des Spektrums eine Potenzreihendarstellung $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_n{z}^n$, so gilt $f(a)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_n{a}^n$ als absolut konvergente Reihe in $A$.
• Ist $f\in \mathscr{H}(\sigma (a))$ und $g\in \mathscr{H}(\sigma (f(a)))$, so gilt $(g\circ f)(a)=g(f(a))$.
• Es gilt der spektrale Abbildungssatz: $\sigma (f(a))=f(\sigma (a))$ für alle $f\in \mathscr{H}(\sigma (a))$.

Man kann sich also vorstellen, die Banachalgebren-Elemente tatsächlich in holomorphe Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.

Anwendung

Als eine typische Anwendung des holomorphen Funktionalkalküls beweisen wir folgenden Satz:

Für eine $ℂ$-Banachalgebra $A$ mit Einselement $e$ sind äquivalent:

• $A$ besitzt Projektionen $p$ mit $0=p=e$.
• $A$ besitzt Elemente mit unzusammenhängendem Spektrum.

Da $\sigma (p)=\{0,1\}$ für eine Projektion $p$ mit $0=p=e$ offensichtlich unzusammenhängend ist, muss nur gezeigt werden, dass es eine von 0 und $e$ verschiedene Projektion gibt, wenn ein $a\in A$ unzusammenhängendes Spektrum hat. Da $\sigma (a)$ unzusammenhängend ist, gibt es offene Mengen $U$ und $V$ in $ℂ$, so dass $U\cap \sigma (a)=\mathrm{\varnothing }$, $V\cap \sigma (a)=\mathrm{\varnothing }$, $\sigma (a)\subset U\cup V$ und $U\cap V=\mathrm{\varnothing }$. Die Funktion $f$, die auf $U$ gleich 1 und auf $V$ gleich 0 ist, ist als lokal konstante Funktion holomorph, also ein Element aus $\mathscr{H}(\sigma (a))$. Dann gilt nach dem spektralen Abbildungssatz $\sigma (f(a))=f(\sigma (a))=\{0,1\}$ und daher $0=f(a)=e$. Da $f=f\cdot f$ folgt $f(a)=(f\cdot f)(a)=f(a)\cdot f(a)$. Daher ist $f(a)$ eine Projektion der gesuchten Art.

Diese Aussage kann zum schilowschen Idempotentensatz verschärft werden, was den tiefer liegenden holomorphen Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher erfordert.

Literatur

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, Ch. 1, §7: "A Functional Calculus for a Single Banach Algebra Element"
• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983, ISBN 0-12-393301-3
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)