Satz von Lumer-Phillips

Der Satz von Lumer-Phillips ist ein Resultat aus der Theorie der stark stetigen Halbgruppen und charakterisiert Kontraktionshalbgruppen:

Seien $X$ ein Banachraum und $(A,D(A))$ ein in $X$ dicht definierter, dissipativer Operator. Dann erzeugt der Abschluss $\bar{A}$ von $A$ eine Kontraktionshalbgruppe, also $\Vert e^{tA}\Vert \le 1$ für alle $t\ge 0$, genau dann, wenn für ein $\lambda >0$ das Bild von $\lambda -A$ dicht in $X$ liegt.

Der Satz wurde 1961 von Günter Lumer und Ralph Phillips bewiesen und gehört mit dem Satz von Hille-Yosida zu den wichtigsten Sätzen aus dem Bereich der stark stetigen Halbgruppen. Im Gegensatz zum Satz von Hille-Yosida werden aber keine Abschätzungen für die Resolvente benötigt, so dass die Anwendung des Satzes von Lumer-Phillips im Falle eines konkreten Operators sich häufig einfacher gestaltet als die Anwendung des Satzes von Hille-Yosida.

Folgerungen

• Sei $(A,D(A))$ ein dicht definierter Operator auf einem Banachraum $X$. Sind sowohl $A$ als auch die Adjungierte $A^{*}$ dissipativ, erzeugt der Abschluss von $A$ eine Kontraktionshalbgruppe.
• Ist $(A,D(A))$ ein dissipativer Operator auf einem reflexiven Banachraum $X$ und liegt das Bild von $\lambda -A$ dicht in $X$, dann ist der Definitionsbereich vom Abschluss $\bar{A}$ von $A$ dicht in $X$. Aus dem Satz von Lumer-Phillips folgt, dass $\bar{A}$ eine Kontraktionshalbgruppe erzeugt.

Beispiel

• Betrachtet man auf $X:=L^2([0,1],ℝ)$ (siehe $L^p$-Raum) den Laplace-Operator $Au:=u^{″}$ mit Dirichlet-Randbedingung, also $D(A):=\{u\in H^2([0,1],ℝ):u(0)=u(1)=0\}$, so ist $A:D(A)\to X$ invertierbar. Außerdem folgt aus der partiellen Integration $⟨Au,u⟩=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{″}u\mathrm{d}x=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{u}^{\prime }{u}^{\prime }\mathrm{d}x\le 0$. Somit erzeugt $A$ eine Kontraktionshalbgruppe.

Literatur

• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.
• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag 2000, ISBN 0-387-98463-1.