Schatten-Klasse

Die Schatten-Klassen, auch Schatten-von-Neumann-Klassen, benannt nach Robert Schatten und John von Neumann, sind spezielle Algebren von Operatoren, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht werden. Sie haben viele Eigenschaften mit den Folgenräumen ${\ell }^p$ gemeinsam.

Definition

Ist $T:H\to G$ ein kompakter linearer Operator zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen (im Endlichdimensionalen bricht die Folge ab), so gibt es eine monoton fallende Folge ${\left(s_n\right)}_n$ nicht-negativer reeller Zahlen mit $s_n\to 0$ und orthonormale Folgen ${\left(e_n\right)}_n$ in $H$ und ${\left(f_n\right)}_n$ in $G$, sodass

• $Tx={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{s}_n⟨x,e_n⟩f_n$ für alle $x\in H$ gilt und
• die Operatoren ${\sum }_{n=1}^N{s}_n⟨\cdot ,e_n⟩f_n$ für $N\to \mathrm{\infty }$ in der Operatornorm gegen $T$ konvergieren.

Das ist die sogenannte Schmidt-Darstellung. Die Zahlenfolge ${\left(s_n\right)}_n$ ist im Gegensatz zu den orthonormalen Folgen eindeutig durch $T$ bestimmt. Man schreibt daher $s_n(T)$ für das $n$-te Folgenglied und nennt diese Zahl auch den $n$-ten singulären Wert von $T$. Man kann zeigen, dass die Quadrate dieser Zahlen die monoton fallende Eigenwertfolge des kompakten und positiven Operators $T^{*}T\in L(H)$ bilden.

Für $1\le p<\mathrm{\infty }$ ist die $p$-te Schatten-Klasse kompakter Operatoren von $H$ nach $G$ durch

${𝒮}_p(H,G):=\{T:H\to G\mid T\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{t},{(s_n(T))}_n\in {\ell }^p\}$

definiert. Dabei ist ${\ell }^p$ der Folgenraum der zur $p$-ten Potenz summierbaren Folgen. Für $T\in {𝒮}_p(H,G)$ definiert man die $p$-Norm des Operators gerade durch diese Norm der Folge:

$\Vert T{\Vert }_p:={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{s}_n(T{)}^p)}^{\frac{1}{p}}$

Die $p$-Norm des Operators ist also genau die ${\ell }^p$-Norm der zugehörigen Folge der singulären Werte des Operators.

Für den Fall $G=H$ schreibt man abkürzend ${𝒮}_p(H):={𝒮}_p(H,H)$. Oft nennt man nur diese Räume Schatten-Klassen.

Spezialfälle

Für $p=1$ entspricht der Raum ${𝒮}_1(H,G)$ der Menge der Spurklasseoperatoren.

Für $p=2$ entspricht ${𝒮}_2(H,G)$ dem Hilbertraum der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Eigenschaften

• Die Schatten-Klassen haben viele Eigenschaften mit den ${\ell }^p$-Räumen gemeinsam. ${𝒮}_p(H)$ ist mit der $p$-Norm ein Banachraum. Für $p\le q$ gilt $\Vert \cdot {\Vert }_p\ge \Vert \cdot {\Vert }_q$ und daher ${𝒮}_p(H)\subset {𝒮}_q(H)$. Ferner gilt stets $\Vert T\Vert \le \Vert T{\Vert }_p$, wobei $\Vert T\Vert$ die Operator-Norm von $T$ ist.

• ${𝒮}_p(H)$ ist mit der Operator-Multiplikation sogar eine Banachalgebra mit isometrischer Involution, wobei die Involution die Adjunktion ist. Sind $T\in {𝒮}_p(H)$ und $A,B\in L(H)$ stetige lineare Operatoren auf $H$, so ist $ATB\in {𝒮}_p(H)$ und es gilt $\Vert ATB{\Vert }_p\le \Vert A\Vert \Vert T{\Vert }_p\Vert B\Vert$. Die Schatten-Klassen sind daher zweiseitige Ideale in $L(H)$.

• Seien $1<p,q<\mathrm{\infty }$ mit $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ konjugierte Zahlen. Gilt dann $T\in {𝒮}_p(H)$ und $S\in {𝒮}_q(H)$, so ist das Produkt $TS$ ein Spurklasse-Operator und es gilt $\mathrm{Sp}(TS)\le \Vert T{\Vert }_p\Vert S{\Vert }_q$. Jedes $S\in {𝒮}_q(H)$ definiert daher durch $T\mapsto \mathrm{Sp}(TS)$ ein stetiges lineares Funktional ${\psi }_S$ auf ${𝒮}_p(H)$. Man kann zeigen, dass die Abbildung $S\mapsto {\psi }_S$ ein isometrischer Isomorphismus von ${𝒮}_q(H)$ auf den Dualraum von ${𝒮}_p(H)$ ist, oder kurz ${𝒮}_p(H){}^{\prime }\cong {𝒮}_q(H)$. Man hat also auch hier ganz ähnliche Verhältnisse wie bei den Folgenräumen. Insbesondere sind die Schatten-Klassen für $1<p<\mathrm{\infty }$ reflexiv, sie sind sogar gleichmäßig konvex. Wie bei den Folgenräumen ist dies für ${𝒮}_1(H)$ nicht der Fall. Die Verhältnisse für ${𝒮}_1(H)$ sind im Artikel Spurklasseoperator näher beschrieben.

Lokale Theorie der Schatten-Klassen

Auch im Rahmen der lokalen Theorie der Banachräume sind zentrale strukturelle Aspekte der endlich-dimensionalen Schatten-Klassen studiert worden; diese Räume sind von Bedeutung etwa im Bereich der Low-Rank matrix recovery, darunter die asymptotischen Volumina ihrer Einheitskugeln sowie Entropiezahlen oder auch s-Zahlen für natürliche Einbettungen zwischen diesen Räumen. Darüber hinaus wurde für Einheitskugeln selbstadjungierter Schatten-Klassen für den Fall $p>3$ die berühmte Variance Conjecture bewiesen.

Quellen

• R. Schatten: Norm Ideals of Completely Continuous Operators. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5.
• N. Dunford, J. T. Schwartz: Linear Operators, Part II, Spectral Theory. ISBN 0-471-60847-5.
• R. Meise, D. Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis. Vieweg, 1992 ISBN 3-528-07262-8.