Nichtkommutative Potenzreihe

Nichtkommutative Potenzreihen stellen eine Verallgemeinerung der formalen Potenzreihen dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.

Definition

Sei $𝒳$ eine Menge und $W (𝒳)$ das freie Monoid über $𝒳$ . (Dann ist $W (𝒳) = {x_{1} \dots x_{n} | x_{i} \in 𝒳, n \geq 1} \cup {1}$ ) Sei $R$ ein Ring. Der nichtkommutative Potenzreihenring über $R$ ist definiert als

R ⟨ ⟨ 𝒳 ⟩ ⟩ : = {\sum_{x \in W (𝒳)} r_{w} w | r_{w} \in R} ≅ \prod_{w \in W (𝒳)} R

Die Addition auf $R ⟨ ⟨ 𝒳 ⟩ ⟩$ wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung

\sum_{w} a_{w} w \cdot \sum_{w} b_{w} w : = \sum_{w} (\sum_{u v = w} a_{u} b_{v}) w

definiert.

Eigenschaften

Für endliche Mengen $𝒳 = {X_{1}, \dots, X_{n}}$ schreibt man $R ⟨ ⟨ X_{1}, \dots, X_{n} ⟩ ⟩$ .
$R ⟨ ⟨ X ⟩ ⟩ = R [[X]]$ für eine Variable $X$
$R ⟨ ⟨ 𝒳 ⟩ ⟩ / [R ⟨ ⟨ 𝒳 ⟩ ⟩, R ⟨ ⟨ 𝒳 ⟩ ⟩] = R [[𝒳]]$

Siehe auch

nichtkommutatives Polynom

Nichtkommutative Potenzreihe

Definition

Eigenschaften

Siehe auch

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