Drei-Dreiecke-Tangram

Das Drei-Dreiecke-Tangram (auch Brügner’sche Dreiecke) wurde von dem Mathematiker Georg Brügner († 1998) entwickelt. Dabei handelt es sich um ein besonderes Tangram, das aus nur drei ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken besteht, aus denen sich eine maximale Anzahl konvexer Figuren bilden lässt.

Im Gegensatz zu anderen Tangrams, deren Zweck eher spielerischer Natur ist, basiert das Drei-Dreiecke-Tangram auf einem mathematischen Hintergrund.

Aufbau des Tangrams

Datei:Drei-Dreiecke-Tangram Winkel.svg

Aufbau des Tangrams

Wenn das Tangram wie im ersten Bild gebildet wird, entstehen drei rechtwinklige Dreiecke mit insgesamt sechs verschiedenen Seiten (die im zweiten Bild mit $a$ bis $f$ bezeichnet sind). Diese Dreiecke sind wegen der Gleichheit der Innenwinkel zueinander ähnlich.

Im Spezialfall $f=c$ bestehen die Dreiecke nur aus fünf verschiedenen Seiten. Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn die Diagonale $a$ zur Seite $c$ im Verhältnis $\mathrm{\Phi }$ des Goldenen Schnittes steht, das heißt, wenn

Seitenverhältnisse im Tangram

$\sin \alpha =\frac{c}{a}=\frac{1}{\mathrm{\Phi }}\approx 0,618$.

Für den zugehörigen Winkel $\alpha$ ergibt sich dann

$\alpha \approx 38,17^{\circ }.$

Eine Besonderheit dieses Winkels ist außerdem die Beziehung ${\cos }^2\alpha =\sin \alpha$, aus der $\tan \alpha =\cos \alpha$ folgt. Für die Seitenverhältnisse des Ausgangsrechteckes folgt dann

$\frac{c}{b}=\tan \alpha =\cos \alpha =\sqrt{\sin \alpha }\approx 0,786.$

Nur bei diesem Seitenverhältnis im Ausgangsrechteck entsteht das Drei-Dreiecke-Tangram, da in diesem Fall die Anzahl konvexer Figuren maximal wird.

Die Figuren

Datei:Drei-Dreiecke-Tangram 16Formen.svg

Die 16 möglichen konvexen Figuren

Dadurch, dass die Dreiecke insgesamt nur fünf verschiedene Seiten haben, ergeben sich mehr Möglichkeiten, diese wieder zu Figuren zusammenzusetzen.

Es lassen sich genau folgende 16 verschiedene konvexe Figuren bilden:

• zwei Rechtecke,
• zwei gleichschenklige Dreiecke,
• zwei Parallelogramme,
• drei Trapeze,
• zwei Drachenvierecke,
• ein allgemeines Viereck,
• vier Fünfecke.

Weblinks

• Allgemeines zu Tangrams mit einem Bild des Drei-Dreiecke-Tangrams (Tangram de Brugner)
• Flash-Application, in der man alle 16 Formen zusammensetzen kann (SWF-Datei; 51 kB)
• On-line Application: Drei-Dreiecke-Tangrams