Epanechnikov-Kern

Zeichnung des Epanechnikov-Kerns

Der Epanechnikov-Kern (nach W. A. Jepanetschnikow) ist derjenige Kern, der für einen kompakten Träger folgende Eigenschaften erfüllt:

1. $k(x)\ge 0$ für alle $x\in ℝ$
2. $\int k(x)\mathrm{d}x=1$
3. $\int x^{2}k(x)\mathrm{d}x=1$
4. $\int k^2(x)\mathrm{d}x$ wird minimiert.

Durch diese Eigenschaften minimiert der Epanechnikov-Kern unter allen Kernen die mittlere quadratische Abweichung des zugehörigen Kerndichteschätzers. Es handelt sich hierbei um ein Polynom der Form $a+b{x}^2$.

Wir wollen die numerischen Faktoren $a,b$ des Kerns in Kontext setzen. Betrachte dazu zunächst die normierte Familie $k_{n,d}(x)$, deren Terme im Interval $[-d,d]$ eine Hügelform annehmen und welche für große n gegen die rechteckige Verteilung der Höhe $\frac{1}{2d}$ konvergiert:

$k_{n,d}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2d}(1+\frac{1}{2n})(1-{\left(\frac{x}{d}\right)}^{2n})& ,|x|\le d\\ 0& ,|x|>d\end{array}$

Für diese gilt

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{2n}{k}_{n,d}(x)\mathrm{d}x=\frac{d^{2n}}{4n+1}.$

Der von Epanechnikov selbst angegebene Kern normiert dieses Integral für $n=1$ auf Eins. Für ${\left(\frac{d}{\sqrt{4+1}}\right)}^2=1$ wählen wir also $k_E:=k_{1,\sqrt{5}}$:

$k_E(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{3}{4\sqrt{5}}(1-\frac{x^2}{5})& ,|x|\le \sqrt{5}\\ 0& ,|x|>\sqrt{5}\end{array}$

Mitunter wird auch der Kern mit $d=1$ als Epanechnikov-Kern bezeichnet, der dementsprechend die Eigenschaft 3 nicht erfüllt:

$k_E(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{3}{4}(1-x^2)& ,|x|\le 1\\ 0& ,|x|>1\end{array}$

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